MESURES. LONGUEUR DE LA. CIRCONFERENCE 
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67. — Voilà comment ont raisonné les géomètres ( 1 ). Mais 
c’est ici que surgit l’anomalie, ou, du moins, ce qui fut long 
temps considéré comme tel. Le contour du carré ABCD, celui de 
l’octogone régulier AEBFGGDH, ou celui d’un polygone régulier, 
inscrit ou circonscrit, ayant un nombre in de côtés, tous ces con 
tours ont des mesures qui peuvent être définies (déduites de l’unité) 
au moyen d’opérations arithmétiques connues ( 2 ) ; ainsi le contour 
du carré ABCD a pour mesure exacte 4 X /2 (le sens de l’expression 
« mesure exacte » étant élargi comme il a été dit au n° 63) ; le 
contour du carré circonscrit V'B'C D a pour mesure 8 ; le contour de 
l’octogone AEBFCGD1I (fig. 11) a pour mesure 8 X sJ 1 —v 2 , etc. 
Pourra-t- on, semblablement, indiquer une combinaison à'opérations 
connues dont le résultat définisse la mesure de la circonférence ? 
La réponse est négative ( 3 ), mais les géomètres ont été longs à s’en 
convaincre, et les tentatives faites, vingt siècles durant, pour trou 
ver une expression arithmétique de la longueur du cercle, se 
comptent par milliers. L’une des plus célèbres est celle de Grégoire 
de Saint-Vincent (auteur de l'Opus geomelriciim quadratures 
circuli et sectionum coni, 1647), qui fut combattue par Descartes, 
Pascal, Huvgens. Aujourd’hui encore, les Académies Scientifiques 
sont saisies presque chaque année de nouvelles solutions du pro 
blème de la « rectification » ou « quadrature » du cercle. Et 
cependant, Vimpossibilité de la résolution de ce problème (*), 
pressentie par Legendre et Euler, a été prouvée en toute rigueur, 
que leurs longueurs sont toutes égales entre elles et égales au double du côté 
du triangle équilatéral. 
( 1 ) Ils ont aussi imaginé de nombreuses méthodes indirectes qui con 
duisent à des résultats équivalents. 
( 2 ) Ce sont là des conséquences immédiates des théorèmes de la géo 
métrie métrique (voir chap. ni, § 3). 
( :t ) Et cela, en donnant aux mots « opérations connues » qui figurent 
dans l’énoncé de la question, l’acception la plus générale qu’ils puissent 
comporter. On ne peut former (ride infra, Deux. Lia.) aucune équation 
a n x n + a n -x x n - l +...-(-a 0 = o de quelque degré que ce soit, dont les 
coefficients a», On-j, ... «0 soient des nombres rationnels et qui ait pour 
racine (valeur de l’inconnue x) la mesure de la longueur du cercle de 
rayon 1. 
( 4 ) II. existe par contre certaines courbes (autres que le cercle) dont la 
longueur exacte est mesurée par un nombre rationnel pouvant être cal 
culé. De telles courbes sont dites rectifiables. 
Boutboux. — Les Principes de l’Analyse mathématique. G