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Elemente der projectivischen Geometrie.
§ 18.
Dieser Satz ist ein besonderer Fall von
demjenigen in Nr. 151.
155. Da nach dem Satze von Desargues (Nr. 148) die
Punktenpaare PP', AA', BB' (Fig. 112) eine Involution bilden,
so haben wir die gleichen Doppelverhältnisse (P P'AB) =
(P' P A' B') oder
PA PB FA' FB' PB' PA'
P' A : P' B ~ PÄ 7 : PB 7 — FF : FA 7 *
Nun aber ist P A : P'A gleich dem Verhältniss der Entfer
nungen (in einer beliebig angenommenen Richtung gemessen) der
Punkte P und P' von der Geraden QT; die anderen Verhältnisse
in der obigen Gleichung haben eine entsprechende Bedeutung;
man kann also schreiben:
W . (B) _ (B’) . (A')
(A)’ • (B)' - (B')' ■ (A')'
oder
(A) . (A') (A)' . (A')'
(B) . (B') - (B)' . (B')'’
worin (A), (A'), (B), (B') die Entfernungen (senkrechten oder
schiefen unter gegebenen Winkeln) des Punktes P von den Seiten
QT, RS, QR, ST des eingeschriebenen Vierecks QRST und
(A)', (A')', (B)', (B')' die Entfernungen (unter beziehungsweise
gleichen Winkeln) des Punktes P' von denselben Seiten bedeu
ten. Die obige Gleichung sagt also aus, dass das Verhältniss
(A) . (A')
(B) . (BO
für jeden Punkt P des Kegelschnittes constant ist; oder es ist
der Satz bewiesen:
Ist ein Viereck einem Kegelschnitt eingeschrieben,
so steht das Product der Entfernungen eines beliebi
gen Punktes der Curve von zwei Gegenseiten zu dem
Product der Entfernungen desselben Punktes von den
zwei anderen Gegenseiten in einem constanten Ver
hältniss *).
156. In eine ähnliche Form lässt sich auch der Satz (Nr. 143,
0
*) Chasles nennt diesen Satz den Lehrsatz des Pap pus, weil er
der berühmten Aufgabe: „problema ad quatuor lineas“ dieses alten
Geometers entspricht. Aperçu historique, S. 37 und 338,
rechts) bri
Bezeichnen
benen Viel
punkte de:
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Verhältnisse
oder
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für jede T;
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so steht
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derselber.
niss *).
§ 18. 1
157.
oder nich
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Strahlen (
*) C h a
