Geometrie. 
Geraden, die in dersel- 
ene liegen, haben einen 
samen Punkt. 
Ebenen a, ß, y, 8 sind 
i; wenn sich die beiden 
laß und y 8 schneiden, 
¡n die vier Ebenen durch 
enP unk t, folglich schnei- 
h auch die Geraden ß y 
b, ebenso a y und ß 8. 
a eine beliebige Anzahl 
sraden sich paarweise 
en und nicht in derselben 
liegen, so gehen sie alle 
denselben Punkt (Ge- 
ines Bündels) #1 ). 
orrelative Lösungen zu: 
jr Ebene a eine Gerade 
chneidet und in dieser 
;eht nicht durch A.) 
ionstruirt die Schnittlinie 
ne a und der Ebene r A. 
;abe. In einer gegebenen 
a eine Gerade zu ziehen, 
zwei gegebene Geraden 
meidet (die keinen ge- 
len Punkt haben und 
der Ebene a liegen), 
ö s u n g. Man verbindet 
kt a b mit dem Punkt a c. 
Dreieck (System von 
i von drei Ebenen) cor- 
iten des Dreikants sind 
m und den Seiten des 
§ 6. Das Princip der Dualität oder Reciprocität. 
Dreiecks; dem Lehrsatz Nr, 12 und 14 ist also folgender reciprok 
verwandt: 
Wenn zwei Dreikante a ß' y' und a" ß" y" die Eigen 
schaft haben, dass die Kanten ß' y' und ß" y", ebenso 
y' a' und y" a", ebenso a ß' und a" ß" sich in drei Ebenen 
a 0 , ß 0 , yo befinden, welche durch dieselbe Gerade gehen, 
so liegen die Geraden a' a!\ ß' ß'\ y' y" in derselben 
Ebene. 
Der Beweis ist derselbe, wie zu Nr. 12 und 14, indem man 
die Elemente Punkt und Ebene vertauscht. Haben z. B. die 
beiden Dreikante verschiedene Scheitel S', S" (Nr. 12), so sind 
die Punkte, in welchen sich die Kantenpaare schneiden, die Eck 
punkte eines Dreiecks, dessen Seiten cc'a", ß' ß", y' y" sind; 
diese letzteren Geraden sind also in derselben Ebene (der Ebene 
des Dreiecks). 
Ebenso wird der Beweis für den Pall, dass die beiden Drei 
kante denselben Scheitel S haben, zu dem Beweis des analogen 
Palles zweier Dreiecke A' B' C' und A" B" 0" (in derselben Ebene) 
von Nr. 14 correlativ sein. Der Lehrsatz wird auch gefunden, 
indem man vom Punkte S aus die Pigur projicirt, welche den 
Satz Nr. 13 ausdrückt. 
Man kann den Beweis zu dem Satze linden, der dem in Nr. 11 
und 18 correlativ ist, und der so ausgedrückt sei: 
Wenn in zwei Dreikanten a' ß' y\ a" ß" y" die Geraden 
a' a", ß' ß"i y' y" in derselben Ebene liegen, so bestimmen die 
Kantenpaare ß' y' und ß" y", y' a' und y" a'\ a' ß' und a" ß" 
drei Ebenen, welche durch dieselbe Gerade gehen. 
30. In der ebenen Geometrie werden zwei reciproke Fi 
guren oder Sätze von einander abgeleitet, indem man die 
Elemente Punkt und Gerade vertauscht. 
Hier folgen einige Beispiele *): 
1. Zwei Punkte A, B be 
stimmen eine Gerade, die Ge 
rade A B. 
2. Vier Punkte A, B, C, D 
(Pig. 11), von denen nicht mehr 
als zwei in einer Geraden liegen, 
Zwei Geraden a, b bestim 
men einen Punkt, den Punkt 
a b. 
Vier Geraden a,b,c,d (Pig. 12), 
von denen nicht mehr als zwei 
durch denselben Punkt gehen, 
, da a 6, a c, 6 c drei ver- 
nkt der Schnittpunkt der 
*) Die Punkte und die Geraden, um die es sich handelt, liegen in 
derselben Ebene.