i Geometrìe. 
§ 8. Harmonische Gebilde. 
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nn die Vierecke in ver- 
;z als einen solchen der 
e Satz folgender sein: 
durch dieselbe Ge- 
vollständiges Vier- 
dessen Scheitel ein 
i von welchem zwei 
/ll v in der Ebene u, 
e Kanten xv, l ,u in 
v in y liegen, so liegt 
n einer bestimmten 
Iche dieselbe bleibt, 
ligen Elemente des 
gen. 
dben oder aus einem an 
aleres vollständiges Vier- 
Bedingungen entspricht, 
tare entsprechender Kan- 
durch dieselbe Gerade s 
( das sechste Paar eben- 
irch die Gerade s geht. 
8 harmonische Ebenen 
ten zusammengesetzt ist, 
res Vierseit (im Strahlen- 
ene, die nicht durch den 
ständiges Vierseit (in der 
schneidet die Ebenen &, 
i eines Strahlenbüschels, 
je zwei Paare der Eck- 
irend die beiden andern 
isten Eckpunkt des Vier 
rechts) vier harmonische 
sversalebeue in vier har- 
uiso: wenn die vier har 
monischen Ebenen a. ß, y, 8 durch eine Transversale in den 
vier Punkten A, B, C, D geschnitten werden, so ist das Ge 
bilde AB CD harmonisch. Denn legen wir durch die trans 
versale Gerade eine Ebene, so wird diese die Ebenen a, ß, 
y, 8 nach vier Geraden a, ö, c, d schneiden. 
Die vier Geraden sind nach dem eben bewiesenen Satze 
harmonisch; aber AB CD ist ein Schnitt des Strahlenbüschels 
abcd\ folglich sind (nach Nr. 41 Ende) die vier Punkte A, 
B, C, D harmonisch. Umgekehrt: projicirt man vier harmo 
nische Punkte aus einer Axe oder vier harmonische Strahlen 
aus einem Punkte, so erhält man vier harmonische Ebenen. 
44. Verstehen wir also unter einem harmonischen 
Gebilde eine Gruppe von vier harmonischen Punkten oder 
vier harmonischen Strahlen oder vier harmonischen Ebenen, 
so haben wir den Satz: 
Jede Projection und jeder Schnitt eines harmo 
nischen Gebildes ist wieder ein harmonisches Ge 
bilde; oder: 
Jedes Gebilde, welches zu einem harmonischen 
Gebilde projectivisch ist, ist ebenfalls harmonisch. 
Umgekehrt sind zwei harmonische Gebilde immer 
projectivisch. Um diese Eigenschaft zu beweisen, genügt 
es, zwei Gruppen von je vier harmonischen Punkten zu be 
trachten; denn wenn eines der Gebilde ein Büschel ist, so 
erhält man vier harmonische Punkte, indem man den Büschel 
durch eine Transversale schneidet. Setzen wir also voraus, 
es seien AB CD, A'B'C'D' zwei harmonische Gebilde und 
projiciren wir ABC in der in Nr. 37 erklärten Weise auf 
A'B'C'; dieselben Operationen (Projectionen und Schnitte), 
welche dazu dienen, A'B'C' von ABC abzuleiten, werden für 
D einen Punkt Dj geben; daraus folgt, dass das Gebilde 
A'B'C'D 1 harmonisch sein wird, so wie es AB CD ist. Aber 
nach Voraussetzung sind auch A'B'C'D' vier harmonische 
Punkte; also muss D 1 mit D' zusammenfallen, denn die drei 
Punkte A'B'C' bestimmen den vierten Punkt, der mit ihnen 
ein harmonisches Gebilde ausmacht (Nr, 39 links); w. z. b. w.