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Elemente der projectivischen Geometrie. 
Wir nennen Doppelverhältniss von vier Strahlen a, 6, c, d 
oder vier Ebenen /?, y, <5, die einem Büschel angehören, 
das Doppelverhältniss der vier Punkte, in welchen die vier 
Elemente des Büschels von einer beliebigen Transversalen 
geschnitten werden und stellen dieses Doppelverhältniss des 
Strahlen- oder Ebenenbüschels durch (a, 5, c, d) oder (a, /9, 
y, d) dar. 
Wir können dann den allgemeinen Lehrsatz so ausdrücken: 
Zwei Gebilde der ersten Stufe, die aus je vier 
Elementen bestehen, sind projectivisch, wenn ihre 
Doppelverhältnisse gleich sind; die Bedingung 
genügt. 
55, Da zwei harmonische Gebilde immer projectivisch 
sind (Nr. 44), so können wir aus dem vorhergehenden Satze 
schliessen, dass das Doppelverhältniss von vier harmonischen 
Elementen eine coustante Zahl ist. Denn wenn AB CD 
ein harmonisches Gebilde ist, so ist auch BACD ein har 
monisches Gebilde (Nr. 46) und die beiden Gebilde A C B D 
und BCAD sind projectivisch*) oder es ist 
(ACBD) = (BCAD) 
oder, was dasselbe ist, 
AB AD B A BD 
CB : CD ~ CÄ : CD’ 
daraus nach einigen Umformungen: 
A C A D 
BC : BD 1 ’ 
oder 
(A B C D) = — 1; 
also ist das Doppelverhältniss von vier harmoni 
schen Elementen gleich der negativen Einheit* 1 ) 
56. Man kann der Gleichung 
(A B C D) = — 1, 
*) Projicirt man Fig. 28 ACBD aus K auf NC, so erhält man 
LC N Q, und hierauf L C N Q aus M auf AD, so erhält man BCAD 
#1 ) Möbius, loc. cit., S. 269.