§ 9. Doppelverliältnisse. 
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(1) 
oder 
A C , AD 
b c r Fd 
welche ausdrückt, dass die vier Punkte AB CD harmonisch sind, 
noch zwei andere hemerkenswerthe Pormen geben. 
Da AD = CD — CA (Nr. 45), BD = CD - CB, so gibt 
die Gleichung (1) 
CA (CD — CB)-1~CB(CD — CA) = o 
oder 
i 
CD “ 2 (oA + Cb) 
^CA^C 13 ' 
eine Formel, welche den Punkt D gibt, wenn die Punkte A, B, 
C gegeben sind. 
Ist 0 die Mitte der Strecke C D oder OD = CO = — OC, 
so wird 
A C = 0 C — OA; AD = CD — 0 A = — (OC + OA); 
B C = 0 0 — OB, BD = — (0 C -f 0 B). 
Die Gleichung (1) oder auch 
-°+ 
AD + 
B c 
BD"° 
wird 
OC — 0 A 
OB — 0 c 
0 C -1- 0 A 
OB -|- OC 
oder 
OC 
OB 
OA 
"OC 
also 
2 
0 c — 
OA.OB, 
oder: 
(3) 
Die Hälfte der Strecke CD ist die mittlere Propor 
tionale zwischen den Abständen der Punkte A und B 
von der Mitte von CD. 
Die Gleichung (3) zeigt, dass die Strecken 0 A und 0 B das 
gleiche Vorzeichen haben, d. h. dass der Punkt 0 niemals zwi 
schen A und B fällt. 
Daraus folgt: Legt man durch A und B einen Kreis (Fig. 36), 
so ist 0 C die Länge der Tangente, welche aus dem Punkte 0 
an diesen Kreis gelegt wird *). Folglich schneidet der Kreis 
*) Baltzer, Planim., S. 117.