§ 9. Doppelverhältnisse. 61 
um 0 beschriebenen Kreise, dessen Radius gleich der Länge der 
beiden gleichen Tangenten ist, die von 0 aus an die beiden ersten 
Kreise gezogen werden. 
Fig. 38. 
Die Aufgabe lässt eine reelle Lösung zu, wenn 0 ausserhalb 
der beiden Strecken A B und A' B' und folglich ausserhalb der 
beiden Kreise fällt (Fig. 37 und 38). Es gibt keine reelle Lö 
sung, wenn das Punktenpaar A B durch das Paar A' B' getrennt 
ist (Fig. 39); in diesem Falle ist der Punkt 0 im Innern der beiden 
Strecken. 
Setzen wir voraus, A, B, C, D seien vier harmonische Punkte, 
von denen A und B einander unendlich nahe sind oder zusammen 
Fig. 39. 
fallen. Ist C in unendlicher Entfernung, so muss D mit A und B 
Zusammenfällen, weil er in der Mitte dieser beiden Punkte liegen 
muss (Nr, 52). Ist C in endlicher Entfernung und beliebig ge 
stellt , doch so, dass er weder mit A noch mit B zusammen fällt, 
so gibt die Gleichung (2) CD = CA = OB, d. h. D fällt mit 
A und B zusammen. 
Setzen wir voraus, dass A und C zusammenfallen und B un 
endlich ferne liege. Jetzt muss A in der Mitte der Strecke CD 
liegen, folglich fällt D mit A und C zusammen. Ist B in end 
licher Entfernung und beliebig gestellt, doch so, dass er weder 
mit A noch mit C zusammenfällt, so gibt Gleichung (1) A D = o, 
d. h. der Punkt D fällt mit A und C zusammen.