62 
Elemente der projectivischen Geometrie. 
Wenn also von den vier harmonischen Punkten zwei 
zusammenfallen, so fällt auch einer der beiden anderen 
mit ihnen zusammen und der vierte ist unbestimmt. 
57. Der Lehrsatz der Nr. 38 führt auf die Thatsache: Sind 
vier Elemente A, B, 0, D eines Gebildes der ersten Stufe ge 
geben , so sind folgende Doppelverhältnisse gleich: 
(A B C D) = (B A D C) = (C D A B) = (D C B A). 
Vier Elemente (eines Gebildes der ersten Stufe) können auf 
vierundzwanzig verschiedene Arten permutirt oder in vierund- 
zwanzig verschiedene 
Gruppen 
gebracht werden: 
AB CD, 
В AD C, 
CD AB, 
DCBA, 
ABD C, 
BACD, 
D C AB, 
CDB A, 
acbd’ 
C ADB, 
BD А C, 
DB CA, 
ACDB, 
C ABD, 
DBAC, 
BD C A, 
ADBC, 
DA CB, 
В CAD, 
CBD A, 
ADCB, 
D А В С, 
CB AD, 
BCD A, 
welche wir auf sechs Linien vertheilt haben. 
Die Gruppen einer 
jeden Linie sind zu einander projectivisch (Nr. 88) und haben 
folglich dasselbe Doppelverhältniss. Will man die Doppelverhält 
nisse der vierundzwanzig Gruppen bestimmen, so genügt es, aus 
jeder Linie eine Gruppe, z. B. die sechs Gruppen der ersten 
Kolonne zu betrachten. Diese sechs Gruppen sind so von ein 
ander abhängig, dass, wenn man eine von ihnen kennt, auch die 
fünf anderen sogleich bestimmt werden können. 
Betrachten wir die beiden Gruppen A ß C D und A B D C, 
welche man durch die Vertauschung der beiden letzten Elemente 
erhält. 
Die beiden Doppelverhältnisse 
(\ n n ™ AC . AD 
(ABCD)_g c . BD und 
sind reciproke 
(1) 
ebenso 
(1)' 
(1)" 
/4Rnrn _ A D AC 
(ABDG)_ Br) . B0 
Werthe, also: 
(А В C D) (А В D С) = 1 ; 
(A CBD) . (ACDB) = 1; 
(A D В C) (A D С B) = 1.