§ 9. Doppelverhältnisse. 
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Sind die vier Punkte A, B, C, D in gerader Linie, so hat 
man die identische Gleichung 
BC.AD + CA.BD + AB.GD = o*); 
dividirt man durch BG. AD, so hat man 
AC.BD , AB.CD 
BO.AD 1 CB.AD -1 ’ 
oder 
AC AD AB AD _ 
BC : BD ' CB : CD “ lj 
in anderer Form (Nr. 54) 
(2) (ABOD) + (AOBD) = 1; 
ebenso bekommt man 
(2)' (A B D C) + (A D B C) = 1, und 
(2)" (ACDB) + (AD CB) = 1. 
Bezeichnen wir mit 1 das Doppelverhältniss der Gruppe 
AB CD, d. h. setzen wir 
(AB0D) = 1, 
so haben wir nach Formel (1) 
(ABDC) = j, 
und nach Formel (2) 
(ACBD) = 1 — 
daraus folgt, nach (1)' 
(ACDB) = ^ 
und nach (2)" 
(AD CB) = 1 — = 
und endlich, nach (1)" und (2)' 
(ADBC) = 
*) Multipliciren wir die identische Gleichung 
BC + CA + AB = o 
mit AD und berücksichtigen, dass 
AD = BD-f AB und AD = CD—CA, 
so bekommen wir 
BC.AD + CA (BD + AB) + AB (CD - CA) = o, 
woraus 
BC.AD + CA. BD + AB. CD = o. 
* l ) Möbius, loc. cit., S. 249.