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Elemente der projectivischen Geometrie. 
Wenn in der Gruppe A B G D zwei Punkte A und B zu 
sammenfallen, so hat man 
AC = BC, AD = BD, folglich (ABCD) = (AACD) = 1; 
wenn aber 1 = 1, so werden die andern Doppel Verhältnisse 
(ACAD) = 1 — l = o, (ACDA)= oo, 
d. h. wenn von vier Elementen zwei Zusammenfällen, so hat ihr 
Doppelverhältniss die Werthe 1, o, Go. 
Ist (A B C D) = — 1, d. h. ist das Gebilde ABCD harmo 
nisch, so geben die obigen Formeln 
(A C B D) == 1 — (— 1) = 2, 
(ACDB)=i 
wenn also (Nr. 54) das Doppelverhältniss von vier Punkten einen 
der Werthe 2 oder hat, so bilden diese Punkte, in einer an 
deren Aufeinanderfolge, eine harmonische Gruppe. 
58. Aus dem Lehrsatz 54, welcher die Bedingung aus 
drückt, die für die Projectivität zweier Gruppen von je vier 
Elementen erforderlich ist und genügt, schliesst man: 
Wenn zwei Gebilde (der ersten Stufe) projecti- 
visch sind, so haben vier beliebige Elemente des 
einen Gebildes und die vier entsprechenden Ele 
mente des andern gleiche Doppelverbältnisse *). 
Insbesondere: vier harmonischen Elementen des einen 
Gebildes entsprechen vier harmonische Elemente des anderen 
(Nr. 44). 
59. Mögen A A' und B B' zwei beliebige Paare von 
entsprechenden Punkten zweier projectivischer Punktreihen 
(Fig. 40) und I, J' ihre unendlich fernen Punkte sein, so 
haben wir die Gleichheit der Doppelverhältnisse 
(A B IJ) = (A' B' I' J') 
'"■) Steiner, Systematische Entwickelung etc., S. 33 (Berlin 1832h 
oder Jacob Steiner’s Gesammelte Werke, herausgegeben von Weier 
strass, Berlin 1881.