'8 
DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE FONCTION ! 
rail zéro el devrait y être remplacée, comme on Fa vu, par s; car, à 
la limite considérée, e ne s’annulerait pas moins que f\x). 
Ainsi, la dérivée de y, par rapport à la variable indépendante t, est 
le produit de f {oc) par la dérivée de ¿r; et Fou peut énoncer le prin 
cipe suivant : 
La dérivée d’une fonction de fonction se déduit de ce qu’elle 
serait si la fonction dont elle dépend était la variable indépendante, 
en le multipliant par la dérivée de cette fonction. 
Mais celle-ci, oc, peut elle-même n’être pas exprimée immédiate 
ment au moyen de t. C’est ce qui arrive quand elle n’en dépend que 
par l’intermédiaire d’une autre variable, u. Supposons donc qu’on ait 
oc — o(u) et enfin, pour ne pas multiplier outre mesure les variables 
intermédiaires, u = <]>(£). -Les relations y — f{x), x = v{u), u — •¡¡/(t) 
donneront successivement 
et il viendra, par la substitution de chacun de ces résultats dans le 
précédent, 
Ainsi, lorsqu’une quantité dépend d’une fonction qui est elle- 
même fonction de fonction, sa dérivée s’obtient en multipliant les 
unes par les autres les dérivées de toutes les fonctions entrant dans 
son expression, dérivées prises, pour chaque variable, par rapport 
à la variable suivante, dont elle dépend immédiatement. 
11 importe de savoir effectuer ces différentiations sans même avoir 
besoin de donner un nom spécial, comme x, u, etc., aux variables 
intermédiaires, mais en laissant à chacune d’elles son expression dé 
taillée. On conçoit, en effet, que, pour représenter, comme c’est né 
cessaire, une multitude de modes de variation différents offerts par les 
quantités, au moyen des fonctions simples, en petit nombre, étudiées 
dans les deux dernières Leçons, il faille recourir à bien des combi 
naisons plus ou moins complexes de ces fonctions simples, c’est-à-dire, 
parfois, jusqu’à de vrais enchaînements de fonctions de fonction. 
En voici un exemple, que j’extrais d’un problème de Mécanique 
pratique (* ). Soit 
(*) Problème de la flexion d’une barre élastique, horizontale et de faible masse, 
appuyée à ses deux bouts, par une charge qui vient à passer sur elle en roulant