83 APPROXIM. DES RAC. PAR LA MÉT1I. DES CORDES ET PAR CELLE DES TANGENTES. 
forme 
/(«)-+- A {os — a), 
et où il s’agit par conséquent de substituer à l’arc, s’étendant entre les 
abscisses a, b, de la courbe qu’exprime l’équation y —f{x), une droite 
y — f{a) -h A(æ? — a) issue de son extrémité x — a, l’interpolation 
consiste donc à prendre, comme il vient d’être indiqué, A = ÎAdl—J^°), 
1 b — a 
ou à remplacer l’arc par sa corde, et, l’extrapolation, à poser, con 
formément à la formule (8), K=f'{a), ou à prolonger la courbe 
dans la direction qu’elle affecte à l’extrémité considérée x — a, en 
lui substituant ainsi sa tangente. Dans les deux cas, vu la constance 
supposée du rapport des accroissements f{x)—f{ci) de la fonc 
tion à ceux x — « de la variable, l’opération est dite effectuée par 
parties proportionnelles ; mais le coefficient de proportionnalité, A, 
n’j est pas tout à fait le même. Les réflexions qui précèdent montrent 
que l’interpolation, où l’erreur se trouve annulée séparément à chaque 
limite, est plus sure que l’extrapolation, et qu’elle est aussi générale 
ment plus facile, du moins dans les cas où rien ne s’opjTose à ce qu’on 
évalue directement la fonction aux deux limites. 
La méthode d’approximation des racines par double fausse posi 
tion, après qu’on a obtenu deux limites voisines x = a, x — b don 
nant des signes contraires au premier membre de l’équation f{x) — O, 
équivaut à supposer, dans l’intervalle, 
/O) = f( a ) + AO — a), avec A = ' 
et, par conséquent, à procéder par interpolation, tandis que la mé 
thode d’approximation de Newton consiste à prendre, entre les mêmes 
limites, 
/O) =/(«)+/'( a){x — a), 
ou à opérer par extrapolation. D’ordinaire, elles se complètent mu 
tuellement et donnent pour x — a, k l’instant où f{oc) — o, deux va 
leurs approchées — 
f(a) 
/(«) 
i entre lesquelles se trouve la vraie. 
A f{a) 
Ln effet, par raison de continuité ou plutôt de graduelle variation, 
, /(a?) — f(a) ,,, . , , . . . , 
le rapport -—^ J ■—- s éloigné de sa valeur initiale / («) à me 
sure que x s’éloigne de a, et n’a pas cessé de varier ainsi toujours 
dans un même sens quand il atteint sa valeur A relative à l’autre li 
mite x — b, pourvu, du moins, que l’intervalle b —a soit suffisam-