EXPLICITES OU IMPLICITES. 
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39. — Différentiation des fonctions implicites. 
Même les dérivées des fonctions implicites définies au moyen d’équa 
tions non résolues s’obtiendront, et sous une forme remarquable, à 
l’aide des règles précédentes, pourvu que les membres de ces équa 
tions soient des fonctions explicites connues des variables qui y pa 
raîtront. 
Commençons par le cas d’une seule équation, ramenée à la forme 
F(¿u, y) — o, ou même plus généralement à la forme F {x, y) = une 
constante c, entre une variable indépendante x et une fonction y de 
celle-ci. Le premier membre F (x,y), supposé qu’on y regarde d’abord 
y comme une fonction quelconque de x, est évidemment une certaine 
fonction composée, ayant pour dérivée complète F',, {x,y) -\-F' y {x,y)y'. 
Mais si, de proche en proche, on détermine y par la condition donnée 
que, x variant, F {x, y) ne cesse pas d’égaler la constante c, cette dé 
rivée complète s’annulera continuellement, et l’on aura 
— o. 
Autrement dit, le rapport des changements élémentaires dx et dy, 
qu’éprouveront à chaque instant les variables x et y, se réglera, en 
vertu de l’équation F (x, y) =. c, de manière qu’il y ait compensation 
entre les deux accroissements infiniment petits partiels correspon 
dants, F' x dx et F!,, dy ou F' y y'dx, de la fonction F {x, y). Il vient 
donc, en y', l’équation du premier degré, dite équation de Sluze, 
00 
dF 
dx 
d’où 
dF 
dx _ _ F[ T (x,y)' 
dF F' y {x,y)’ 
dy 
et la dérivée de la fonction implicite y se trouve ainsi exprimée au 
moyen des valeurs actuelles x, y des variables; ce qui dispense d’une 
discussion plus ou moins laborieuse pour chercher ce que deviendraient 
x et y dans le voisinage. 
L’équation proposée F (x, y) = c n’étant pas du premier degré en y 
(sans quoi sa résolution, immédiate, changerait/ en une fonction ex 
plicite de x), l’une au moins des deux dérivées partielles de F, savoir 
¥' y [x, y ), contiendra j dans son expression. Donc la dérivée trouvée/', 
quotient de — F^ par F^., différera de celle qu’on aurait eue si la fonc 
tion y avait été explicite, en ce que sa valeurne sera pas exprimée en fonc 
tion de x seulement, mais aussi et surtout en fonction de y : circonstance 
qui oblige finalement, si l’on veut calculer /', à résoudre l’équation