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DIFFÉRENTIATION D’UN SYSTÈME
F{x, y) = c pour la valeur actuelle de x, mais d’où résulte, par le fait
même, dans les cas où il existe plusieurs racines y ou plusieurs branches
de la courbe F (x, y) = c, le précieux avantage de pouvoir obtenir pour
toutes une dérivée de la même forme, ne se diversifiant de l’une à l’autre
racine qu’à raison de la valeur différente de y. Si, par exemple, l’équa
tion F{x, y) = c a pour premier membre une fonction rationnelle et
entière de x et de y, comme il arrive, après l’évanouissement des dé
nominateurs et l’élimination des radicaux, dans l’étude des courbes
algébriques, les dérivées partielles F' r , F). seront aussi deux poly
nômes; et le coefficient angulaire y 1 de la tangente se trouvera ex
primé par une fonction rationnelle de x et de y, beaucoup plus
simple que l’expression, compliquée de radicaux, à laquelle condui
rait la différentiation de la valeur explicite de y dans les cas, les moins
difficiles pourtant, où l’équation F(aq y) — c serait algébriquement
résoluble.
Soit, comme exemple, l’équation de l’ellipse
a-y 2 h 1 x 2 — a 2 6 2 = o.
On a ici c — o et F {x, y) = a 2 / 2 -t- № x~— a 2 ¿> 2 ; d’où
F.' r = 2Ô 2 a7, Fy = 'ia-y.
11 vient donc, pour le coefficient angulaire de la tangente,
, №x , , hx
y —— ——, au heu de y = qz ——.
a ~y a\Ja 1 — x' 1
qu’on aurait en prenant les deux valeurs explicites, ± ^ y/a 2 — x-,
de j.
Une fonction y inverse d’une autre x — y (y) peut être encore pré
sentée comme exemple remarquable de fonction implicite. Elle se
trouve, en effet, définie par l’équation non résolue x — '■?(/) = o; ce
qui donne F(x, y) — x — cp(y), F'p — i, F' v = — f (y) ' d’où, en vertu
de (u), y' = -j-—- ?
J ?(j)
conformément à la règle, presque évidente d’ail-
Jeurs, rappelée plusieurs fois, pour différenlier ces sortes de fonctions.
Elles offrent, comme on voit, cette particularité, que leur dérivée ne
dépend pas directement de la variable indépendante x, mais seule
ment de la fonction.
Passons maintenant au cas de plusieurs fonctions implicites y,
z, u, c’est-à-dire à celui où l’on a, entre x et y, z, u, pour définir
ces fonctions, un pareil nombre d’équations non résolues, de la forme