DE FONCTIONS IMPLICITES.
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z, u) = o, ou, plus
f{X,y,Z,ll) = O, o{x, y, Z, u) =0, <\>(x, y,
généralement,
f{x,y, z, u) = c, <p(x,y, z, u) = c', ty{x, y, z, u) = c r ,
c, c', c" désignant des constantes quelconques. Comme les variables
r, z, u varient, avec x, de manière que les fonctions composées
/’, o, ^ gardent sans cesse leurs valeurs primitives, il y aura encore
lieu d’annuler les dérivées complètes des premiers membres f, o,
c’est-à-dire de poser, entre y', z', u', les équations du premier degré,
à coefficients fonctions de x, y, z, u:
df
df ,
df
df ,
dx dy "
dz
-î u = 0,
du
do
do
do ,
do ,
dx
dz Z
+ dt U= °’
df
d '\
df ,
d'\> ,
dx
dy y
dz Z
-—u = 0.
du
Donc, quand plusieurs fonctions d’une variable sont définies par
un pareil nombre cVéquations non résolues, les dérivées de ces
fonctions d obtiennent, quelque compliquées que soient les relations
données, en résolvant un simple système d’équations du premier
degré, auxquelles conduit la différentiation de ces relations. Il
vient par suite, si les équations proposées sont algébriques et débar
rassées de leurs radicaux, des expressions des dérivées cherchées y',
z', u' contenant rationnellement la variable indépendante x et les
fonctions implicites r, z, u elles-mêmes; de sorte que ces expressions
uniques donnent autant de systèmes distincts de valeurs qu’il y en a
pour les fonctions implicites, c’est-à-dire qu’il y a de systèmes de
racines, y, z, u, fournis par les équations proposées après substitu
tion à x de sa valeur actuelle. On ne sera donc pas dispensé de déter
miner finalement ces systèmes de valeurs de y, z, u ; mais une réso
lution numérique des équations suffira, au lieu de la résolution
générale, ou d'une infinité de résolutions numériques, qu’il aurait
fallu pour reconnaître directement la manière de varier des fonc
tions y, z, u dans le voisinage de leurs valeurs actuelles.
40*. — Supériorité d’une certaine forme implicite de l’équation, sur sa
forme explicite, pour exprimer une courbe plane; équation delà tan
gente; des points singuliers que présentent certaines courbes.
(Compléments, p. 44*-)
