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DIFFÉRENCES ET DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEUR : 
de ces dérivées. Or c’est ce qu’a fait Leibnitz lui-même, par la dé 
couverte des différentielles d’ordre supérieur dont il va être parlé. 
-49. — Différences et différentielles d’ordre supérieur. 
Convenons de donner successivement à la variable x d’une fonc 
tion Y—f{ x ) 1111 petit accroissement ou une petite différence, \x, 
aussi faible que l’on voudra, mais toujours égale, c’est-à-dire la même 
quelle que soit la valeur actuelle de x à laquelle on l’ajoute, ou la 
fonction de x pour laquelle on l’emploie dans le cours d’une question. 
La différence correspondante, Ay —j\x -h Aj?) —/(#), de la fonction 
f\x) aura pour expression, comme on sait, [/'(¿r) -h z] kx, s dési 
gnant une fonction de x et de \x très petite pour toutes les valeurs 
de x et qui même s’annulerait continuemenl si l’on faisait la con 
stante \x égale à zéro. Ainsi, Ay est une nouvelle fonction de x, sur 
laquelle on peut, malgré son incessante petitesse, raisonner comme on 
l’a fait sury(oi). Si l’on en prend la différence A(Ay), obtenue en fai 
sant, dans son expression, croître x de \x et en considérant ainsi 
l’excédent de /(x -h 2\x) •—f{x-\- \x) sur f(x -h kx) — f{x), on 
aura ce qu’on appelle la différence seconde de la fonction proposée y. 
Cette différence de la différence première s’écrira naturellement AAy 
ou, pour abréger, A -y, en représentant par la puissance symbolique 
A 2 la répétition AA. Or la fonction A_y, étant le produit du facteur 
constant \x par la quantité variable f'{x) -+- s, grandit évidemment, 
entre une valeur de x et la suivante, du produit de l’accroissement 
correspondant, {x) As, de cette quantité variable, par le fac 
teur constant lsx\ et l’on a 
(i) ASjrn [A/'(a?)-+- As]A#. 
M ais les petits accroissements Af'(x), As, de f\x) et de s, s’ex 
priment, au moyen des dérivées /"(x), ^ de ces fonctions, comme 
s’exprimait Af{x) au moyen de/'(¿r); de sorte que, en appelant s 1; 
s' deux nouvelles fonctions de la nature de e, c’est-à-dire évanouis 
santes quand la constante \x se réduit à zéro, Ton pourra écrire 
V'O) = [/'O)-+■ Aî = 
et il viendra, par la substitution de ces valeurs dans (i), 
O) 
ch 
clx 
-+- 
(A^) 2 .