LEUR RAPPORT AVEC LES DÉRIVÉES DE MÊME ORDRE. 
IOI 
Or, dans la quantité entre crochets, le terme ~ est de la même na 
ture que le précédent e x ou le suivant d, et donne avec eux une 
somme totale tendant vers zéro en même temps que \x. Car, d’une 
part, la fonction de x et de \x appelée s s’annule pour toutes les va 
leurs de x quand on fait \x = o et a, par conséquent, sa dérivée ~- 
d- 
alors nulle identiquement; d’autre part, celte dérivée en vertu 
du principe de graduelle variation que nous admettons ici dans toutes 
nos fonctions, ne peut pas acquérir la valeur zéro, relative au cas où \x 
s’annule, sans en approcher indéfiniment à mesure qu’on rend \x de plus 
en plus voisin de zéro. La somme £ i + + z ' est donc une nouvelle 
fonction évanouissante de x et de \x. Si on la représente par z 2 , l’ex 
pression de A 2 jp deviendra 
(3) [/"(*)+ Î2 ](A*)L 
C’est une nouvelle fonction de x. Prenons-en la différence, qui s’ap 
pellera la différence troisième de la fonction j', et qui s’écrira A (A 2 v ) 
ou, simplement, A 3 ^p : puisque A-y égalait 
f{x -4- t.\x) — 2.f{x -+- Aa?) 4- f(x), 
cette nouvelle différence sera l’excédent de 
f{x-\-3±x)~if(X-\-2\x)-\-f(x-h\x) sur /(.57 4- 2 \x)—xf{x 4-\x) ~r-f(x). 
Sa valeur, produit du facteur constant (A#) 2 par l’accroissement que 
recevra le facteur variable f"(x) 4- z 2 quand x j croîtra de \x, éga 
lera évidemment \_\f"{x) 4- As 2 ](A.r) 2 ; et un raisonnement tout pa 
reil à celui qui nous a conduit de la formule (1) à la formule (3) per 
mettra d’écrire, en appelant e 3 une nouvelle fonction évanouissante 
avec \x, 
^7 = [/"0)-+- e 3 ](Ax) 3 . 
On continuera de môme jusqu’à la différence « ièine , 
(4) A«7= [f (n) {x) 4- e«](Aa?)«, 
dont la valeur, divisée par {\x) n , donne 
(5) 
/ (,i) 0) 4- z n = 
An y 
(Aa?)"* 
Si l’on suppose maintenant que, dans celle-ci, l’accroissement Ax soit