LEUR RAPPORT AVEC LES DÉRIVÉES PARTIELLES CORRESPONDANTES, Io5 
multanément vers zéro, Il viendra la relation, analogue à (3), 
(i3) A„A u f=\fuA u , L (p) + s 2 ]Ap Am. 
Celte différence partielle A^A u f est aussi une fonction de u, v, m. 
On pourra donc en prendre la différence par rapport à u, à v ou à nv, 
produit du facteur constant Av A u par l'accroissement correspondant 
du facteur f", ly „ H- s 2 ; ce sera une différence partielle troisième ou du 
troisième ordre. Et, de même, chaque dérivée partielle seconde, diffé- 
rentiée en u, r, m, donnera naissance à tout autant de dérivées par 
tielles troisièmes. Si c’est, par exemple, w qui varie, on trouvera 
évidemment, en appelant z 3 une quantité tendant vers zéro avec A u, 
Av et Am, 
(O) A 1V A„ A„/= v, w) -+- £ 3 ] Am Av Am. 
Et l’on aurait une formule semblable pour toute autre différence d’un 
ordre quelconque. 
L’analogie entre les différences d’ordre quelconque et les dérivées 
correspondantes, démontrée ci-dessus pour les fonctions d’une seule 
variable, se soutient donc dans les fonctions composées où l’on ne fait 
varier les diverses variables que successivement; et l’on y arrive 
aux mêmes conséquences que dans Je cas précédent. Divisons, par 
exemple, l’égalité (1/4) par le produit des facteurs constants Am, 
Av, Am; puis changeons les A en des d, ou les différences en des diffé 
rentielles. pour indiquer l’intention de passer à la limite et avoir par 
suite le droit de supprimer les quantités évanouissantes, comme s 3 . 
11 viendra 
(i5) 
v > w ) = 
d w d v du f 
dw dv du 
Ainsi, toute dérivée partielle d’ordre quelconque d'une fonction 
composée est le rapport de la différentielle partielle analogue de la 
fonction au produit des différentielles correspondantes (supposées 
constantes) des variables. 
Les dérivées partielles d’ordre quelconque seront donc, elles aussi, 
de simples quotients différentiels. Et l’on y effacera même, aux numé 
rateurs, les indices u, v, w, comme on l’avait fait dans le cas de celles 
du premier ordre; car les différentielles du, dv, dw des variables cor 
respondantes figureront aux dénominateurs et indiqueront assez que 
les différentiations devront se faire par rapport à ces variables, en suivant 
l’ordre inverse de celui dans lequel se présenteront leurs différentielles ; 
par exemple, la dérivée/'," „ >lv s’écrira pp~~fffff[ L ’ ou P^ us simplement, par