dw du dv "' J dw dv du’ 
d3 f 
et comme, d’ailleurs, la nouvelle expression— j—— peut s’écrire 
x dw du dv 1 
-—— , -, ou signifie qu’on doit prendre la dérivée seconde en u et w 
dw du dv ° 1 1 
de la fonction cette dérivée seconde sera la même en y changeant 
l’ordre des deux différentiations ou en l’écrivant . , , — , , . 
du dw dv du dw dv 
Ainsi, dans la fraction exprimant la dérivée partielle proposée, le fac 
teur symbolique indicatif d’une certaine différentiation, a pu 
prendre à volonté toutes les places au devant de la fonction f, comme 
s’il était un simple facteur de multiplication. La même chose se dira 
évidemment des facteurs symboliques analogues 
l’ordre des différentiations est bien indifférent 
On profitera de cette cii'constance pour simplifier autant que possible 
l’expression des dérivées, en groupant ensemble, dans les dénomina 
teurs, les différentielles qui y paraîtront plusieurs fois. Par exemple, la 
dérivée -,—-,—f f —,—j- s’écrira -, f -/ —. , 
dudwdwdvdudw du* dv dw à 
sera plus rapide en commençant par la différentiation qui paraîtra 
devoir donner la dérivée la plus simple, puis en faisant de même sur 
cette dérivée une fois obtenue, et ainsi de suite. 
Calcul des dérivées complètes d’ordre supérieur d’une fonction 
composée. 
Voyons maintenant comment, si u, ç, w sont des fonctions de x, 
nous formerons les dérivées successives en x de la fonction composée 
y — f{u, v, w). La première y', déjà trouvée (p. 82), est 
quant à son calcul, il 
(16) 
= y a 
dx du 
-t- v' 
d£ 
dv 
w' 
ÉL 
dw 7 
où les dérivées u', v', w' de u, v, w sont, d’ordinaire, des fonctions 
explicites de x. Mais il peut arriver aussi que leur expression connue 
contienne u, v, w. C’est ce qui a lieu quand u, ç, w sont définies au 
moyen d’équations non résolues; car alors la différentiation de ces 
équations donne, comme on a vu (p. 98), un système de relations du 
premier degré, permettant d’obtenir u r , v', w' explicitement en x, u, v, w.