I08 FORMAT. DES DÉRIVÉES COMPLÈTES QUELCOXÜ- DES FONCT. COMPOSÉES : 
Ainsi, dans le cas le plus général, la dérivée y' se présente comme 
élant une fonction de x,‘u, v, w. Or on peut avoir compté d’avance 
la variable indépendante x parmi ses fonctions appelées u, v, w, en 
augmentant au besoin leur nombre d’une unité : autrement dit, rien 
n’empôche qu’on ait pris, par exemple, u r= x, ou qu’on ait réservé 
la lettre u pour désigner la variable même x en tant qu’elle figu 
rerait immédiatement dans certaines des fonctions composées qu’on 
étudie, et, cela, môme quand la fonction f ne contient pas directe 
ment ou explicitement x, cas où elle deviendra indépendante de u 
et donnera simplement c ^j- —o. Or, si l’on a introduit de la sorte x 
du 
parmi les variables u, ç, w, comme nous l’admettrons, il est clair que 
la dérivée première u' 
du civ 
J ~~ sera, dans le cas le plus gé- 
dw 
néral, une nouvelle fonction explicite de u, c, w. La règle déjà suivie 
pour différentiel’ f{u, v, w) s’j appliquera donc et donnera la déri 
vée y", puis, de môme, y’", et ainsi de suite. 
Une formule qui se déduit immédiatement de (16), formule symbo 
lique ou exprimant non des quantités, mais un certain mode de calcul, 
traduit très simplement cette règle eii langage analytique. Il suffit, 
pour l’obtenir, d’effacer de (16) la lettre y ou / qui désigne la fonc 
tion de u, c, w actuellement différentiée, en se réservant d’inscrire 
plus tard cette fonction à la suite de chaque membre ou de chaque 
terme. Il vient 
d , d d 
-y- = U —, H P • 
, d 
~chv’ 
ce qui peint vivement aux yeux que la dérivée en x, ou le , d’une 
fonction de u, c, w quelle qu’elle soit, s’obtient en prenant de cette 
fonction le -j- 5 le ~, le , c’est-à-dire les dérivées en u, v, w, puis 
du dv dw r 
en les multipliant respectivement par u’, U, w' et faisant la somme. 
Pour indiquer la dérivée seconde, on appliquera donc cette règle à 
la dérivée première exprimée par le second membre de (16), en met 
tant respectivement les deux membres de (17) devant les membres 
correspondants de (16); et l’on aura 
Ainsi l’on devra, pour obtenir y", prendre la dérivée par rapport à u, 
la dérivée par rapport à v et la dérivée par rapport à de chacun des 
termes qui composent la dernière parenthèse, puis multiplier respec-