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FORMATION DE LEURS DERIVEES D ORDRE SUPERIEUR. i i i 
Le dernier terme de chacun de ces développements, celui où figure 
la dérivée de y la plus élevée, de l’ordre même de la dérivée com 
plète évaluée de F(x,y), s’obtient évidemment en différentiant chaque 
fois, dans le terme — y' de la dérivée première, le facteur autre que 
¿/F ^ . d¥ . dV ,, d¥ ... 
— • Ce dernier terme est donc successivement -5— y , ,— y", — y'", . . . ; 
dy dy J dy J ’ dy J 
et il se trouve toujours du premier degré par rapport à la dérivée 
correspondante ou la plus élevée y", y'", .... 
Cela posé, si y doit être choisi de manière que la fonction 
F{x, y) se maintienne constante ou, en d’autres termes, si c’est la 
fonction implicite définie par l’équation F {x, y) ■= c, toutes ces dé 
rivées complètes de F seront milles; et leurs dernières expressions 
développées (21), égalées à zéro, puis divisées par — , donneront 
immédiatement y', ou y", ou y"', . .., en fonction explicite et ration 
nelle des dérivées partielles successives de la fonction F et aussi des 
dérivées, y 1 , y", y"’, .. . moins élevées que celle que l’on considère, 
dérivées que l’on remplacera par leurs valeurs déjà obtenues de même. 
On aura ainsi, finalement, toutes ces dérivées, comme on l’a vu au 
n° 39 (p. 91) pour la première d’entre elles y’, en fonction explicite 
de x, y ; et leurs expressions seront rationnelles, non moins que celle 
de y 1 , si le premier membre de l’équation donnée F (x, y) = c est lui- 
même rationnel. On pourra donc appliquer aux dérivées d’ordre 
supérieur d’une fonction implicite toutes les remarques faites au n° 39 
à propos de la dérivée première. 
Il en sera encore de même si l’on a plusieurs fonctions implicites 
simultanées y, z, . . ., définies par un pareil nombre d'équations de la 
forme F(îc, r, z, . . .) = c. La différentiation de celles-ci, en effet, se 
fera au moven d’une formule comme 
(22) 
dx dx ‘ ‘ J dy 
de sorte que, dans les diverses dérivées complètes des fonctions F, les 
termes qui contiendront les dérivées les plus élevées de y, z,... seront 
d F 
d F 
dy 7 1 dz 
dF 
dy 
J + 
¿/F 
~dz 
etc. 
En égalant ces dérivées complètes à zéro, on aura donc soit en y\ 
z 1 , . .., soit en y", z", ..., soit en y"', z"', . . ., etc., tout autant de 
systèmes d’équations du premier degré où les coefficients des incon