I 12 
FONCTION COMPOSEE DEPENDANT DE FONCT. LINE AIR. DE LA VARIABLE : 
nues seront respectivement les mêmes, comme était celui, ■> de la 
dérivée cherchée de y dans le cas précédent. Et la résolution de 
ces systèmes d’équations fera connaître y', z', ..., puis y", z", ..., 
puis v'", z"', . . ., etc., en fonction rationnelle des dérivées partielles 
successives des fonctions F. 
57*. — Courbure d’une famille de lignes planes. 
(Compléments, p. 67*). 
58. — Différentiation d’une fonction de fonctions linéaires. 
Quand les variables u, v, w d’une fonction composée y —f{u, v, ir) 
dépendent linéairement de la variable indépendante oc, ou qu’elles ont 
des expressions comme 
u — ax-1-A, v-zbx-r- B, w = cx-\- C, 
dans lesquelles a, b, c, A, B, G désignent des constantes, la forme des 
dérivées d’ordre supérieur de la fonction composée se simplifie beau 
coup. En eiFet, les coefficients G, w r du second membre de la formule 
symbolique (17 ) se réduisent alors aux constantes a, h, c; et, par suite, 
les nouvelles différentiations indiquées dans (18), puis dans (19), etc., 
n’amènent aucun dédoublement de termes, car la dérivée partielle 
de /figurant dans chacun de ceux qu’on différenlie y est le seul fac 
teur variable devant lequel vienne se placer le facteur symbolique 
4- ? ou C \1 ou tous les autres sortent de ce siiine de différentia- 
du dv dw 
tion, ou se comportent comme ils le feraient, en leur qualité de coef- 
d 
d 
ficients constants, si l’expression a -f- b -t- c ? qui indique 
les différentiations à opérer, était un polynôme algébrique à multi 
plier par l’expression qu’on différenlie. L’opération infinitésimale 
effectuée est donc calquée sur la multiplication des polvnùmes et se 
fera, en quelque sorte, mécaniquement, comme cette opération algé 
brique. Elle se décomposera du moins, de la même manière, en ces 
opérations élémentaires qui, dans une multiplication, auraient pour 
but le produit d’un facteur constant par divers facteurs variables de 
la forme 
d d d 
du 1 dv ’ dw ’ 
mais qui, ici, quoique indiquées tout à fait de 
même, ont pour but le produit du facteur constant par la dérivée 
partielle que représentent, en s’agrégeant, ces expressions-5- , 4-3 
1 du dv dw 
lorsqu’on les fait suivre du nom de la fonction donnée/(«, v, w).