1x6 FONCTIONS COMPOSÉES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES: 
sera donc 
(3) 
du 
df 
dx 
dx 
df , 
i d ^ 
‘da,. 
dz 
On l’appelle la différentielle totale de la fonction u, par opposition aux 
termes ~ dx, dy,~-dz, qui la composent, et qu’on appelle les 
différentielles partielles de u relatives à x, y ou z, parce qu’elles sont 
ce à quoi se réduirait la différentielle totale du si l’on ne faisait varier 
que x, y oui. Ainsi, la différentielle totale ou variation infiniment 
petite d’une fonction est la somme de ses différentielles partielles, 
c’est-à-dire des accroissements qu’elle éprouverait si une seule de 
ses variables indépendantes recevait son accroissement infiniment 
petit effectif, toutes les autres conservant leurs valeurs antérieures. 
6S. — Différentiation des fonctions composées de plusieurs variables 
indépendantes. 
Soit maintenant w — f{u, v) une fonction de plusieurs variables u, 
v, elles-mêmes fonctions des variables indépendantes x, y, z. Comme 
celles-ci peuvent être censées dépendre d’une dernière et unique va 
riable t, les précédentes u, v et, par suite, w seront encore des fonc 
tions composées de t. On aura donc 
dw = % du -h % dv. 
du dv 
Seulement, dans cette formule, du, dv, dw comporteront plusieurs 
sens; car ce seront des différentielles totales ou des différentielles 
partielles, suivant qu’on fera varier x, y, z à la fois ou séparément. 
Supposons, par exemple, que x seule varie. Alors, en divisant par 
dx, il viendra 
dw _ df du df dv 
dx du dx dv dx’ 
relation dont on ferait évidemment, en désignant par u' x , v' x les déri 
vées partielles premières de u et v en x, la formule symbolique sui 
vante, propre à différenlier par rapport à x toute fonction de u et v, 
(5) 
d , d , d 
dx Ux du ‘ Vx dv 
Et l’on en aurait d’analogues pour différentiel’ une fonction de u, v 
par rapport à y ou à z; car il suffirait de remplacer, dans (5), les 
lettres et les indices x par y ou jiar z. Afin de réduire la place