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LEUR DIFFERENTIATION. 
qu’occupent de pareilles formules, il nous arrivera quelquefois d’en 
écrire plusieurs ensemble, en mettant entre parenthèses les lettres qui 
pourront se substituer respectivement les unes aux autres. Ici, par 
exemple, la formule (5) et ses deux analogues s’écriront ainsi, toutes 
à la fois : 
Elles expriment que la dérivée d’une fonction composée, par rapport 
à une variable indépendante, est la somme des produits respectifs 
de ses dérivées partielles, relatives aux variables dont elle dépend 
immédiatement, par les dérivées partielles de celles-ci prises par 
rapport cl la variable indépendante considérée. 
On passera, sans difficulté, des dérivées partielles du premier 
ordre de la fonction f{u, v) à celles d’ordre supérieur, en observant 
que, dans la formule (4) ou dans d’autres semblables, les dérivées 
partielles de /en u et v, qui y figurent, sont, comme /, des fonctions 
explicites de u et v, et se différentieront par les formules sjunboliques 
(5 bis). On obtiendra, par exemple, la dérivée en différentiant 
par rapport à y l’expression (4) de c ~ • Comme 
d df _ d\f , d*f 
dy du y du 2 ^ y dudv 
et que 
d df , cl 2 / , d- f 
-7- -7- = «v -+- fy ; 
dy dv y dudv ' y dv 2 
il viendra, en appelant u" X y, v" x<y les dérivées secondes de u et v en 
(6) 
df 
•y 
du 
On trouverait évidemment de même toutes les dérivées partielles se 
condes en x, y ou z de la fonction composée w, et puis, par la diffé 
rentiation de celles-ci en x, y ou 5, les dérivées ¡partielles troi 
sièmes, etc. 
Si, d’ailleurs, les variables indépendantes figuraient au nombre des 
variables dont dépend explicitement la fonction/, si, par exemple, 
on avait u — x ou que w fût donné sous la forme f{x, v), il y aurait