FONCTIONS IMPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES : 
lieu de distinguer, par rapport aux variables indépendantes, comme 
dans les cas où il n’y en avait qu’une, d’une part, des dérivées purement 
partielles, obtenues en faisant, dans la fonction composée f, varier cha 
cune d'elles, x par exemple, toute seule, sans lui permettre d’entraîner 
dans ses changements les variables de la fonction composée qui, 
comme v, en dépendent, et, d’autre part, des dérivées relativement 
complètes, qu’on distinguerait au moyen de l’indice c en les écrivant, 
par exemple, yp~-> ou et qui s’obtiendraient en faisant, dans/, 
varier, avec x, tout ce qui dépend de x (comme v) ou, avec y, tout 
ce qui dépend de y, etc. Ainsi, une fonction de la forme f{x,y,v) 
donnerait 
d cf. d f , d f d < f 
sir rlsv* X ris. ^ /7,/ 
(7) 
dx dx x dv ’ dy < 
66. — Différentiation des fonctions implicites de plusieurs variables 
indépendantes. 
Soit, par exemple, F(x,y,z) une fonction composée, où l’on sup 
pose, pour fixer les idées, que s exprime l’ordonnée d’une surface, 
ordonnée dépendant, d’une manière déterminée, de deux coordonnées 
horizontales x et y. On convient, dans ce cas, pour abréger l’écri 
ture, de représenter par 
p, q, les deux dérivées partielles premières z' x , z' y ou ~f~ ’ ’ 
et par 
d2 z (p. z d^z 
r, s, t les trois dérivées partielles secondes -7— , , -7-^7 
dx 1 dx dy dy - 
dont la première et la troisième s’appellent quelquefois les dérivées 
• • • (fë Z • 
secondes directes, par opposition à la deuxième, - ^ » qui prend 
alors le nom de dérivée seconde oblique. 
On aura évidemment, pour différentiel' autant de fois que l’on 
voudra en x ou y la fonction F et ses dérivées partielles, qui toutes 
seront de nouvelles fonctions explicites de x, y et z, les deux formules 
symboliques 
(8) 
d c d d d e d 
dx dx d dz’ 
d 
En observant que p et q ou z' x et z' y dépendent, comme z, de x et