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DÉRIVÉES PARTIELLES DES FONCTIONS IMPLICITES : EXEMPLE. 
figurent isolémentp et q\ puis, pour obtenir r, s, t, celles du même 
degré, résolubles encore chacune séparément, que donnent les der 
niers membres des trois formules suivantes (9) égalés à zéro; et ainsi 
de suite. 
Les dérivées premières p et q, puis les dérivées secondes r, s, t, 
dans les expressions desquelles on remplacera p et q par leurs valeurs 
déjà trouvées, etc., s’exprimeront donc rationnellement, au moyen 
des dérivées partielles successives, d’ordres de plus en plus élevés, delà 
fonction F(æ;, y, z). Si celle-ci est, par exemple, un polynôme, comme 
il arrive quand il s’agit d’une surface algébrique dont l’équation a été 
mise sous forme entière, on obtient ainsi p, q, r, s, t, ..., sous la forme 
de fonctions rationnelles des coordonnées x, y, z du point considéré 
de la surface. Les dérivées premières p et q de z en x et en y éga 
lent, en particulier, les deux quotients respectifs de — ^ et — ~ 
dF 
par — , comme on l’avait déjà reconnu, d’une manière plus géomé- 
ctz 
trique, dans Lavant-dernière Leçon (p. 49*)• 
Ainsi s’étendent, aux dérivées partielles successives des fonctions 
implicites de plusieurs variables, les propriétés que nous avions con 
statées dans les fonctions implicites d’une seule variable. Et il sérail 
aisé de reconnaître, en procédant comme on l’a fait au n° 56 [p. ni, 
formule (22)], que le même fait persiste dans le cas de plusieurs fonc 
tions implicites simultanées. La différentiation en x ou y, etc., répé 
tée un nombre quelconque de fois, de chacune des équations définis 
sant ces fonctions implicites et en même nombre qu’elles, donne 
toujours un système d’équations du premier degré par rapport aux 
dérivées inconnues analogues, les plus élevées qui y figurent, de ces 
diverses fonctions; et chaque inconnue a dans tous les systèmes, 
pour coefficients respectifs, les dérivées premières |comme~j, par 
rapport à la fonction implicite correspondante, des premiers membres 
des équations proposées. 
11 y a parfois des simplifications, ¡Drovenant de ce que certaines dé 
rivées partielles des premiers membres de ces équations s’annulent. 
Par exemple, pour la sphère dont l’équation est x 2 ■+■ r 2 + z 2 = c, on 
aura, en diiférentiant soit par rapport à x, soit par rapport à r, et 
divisant par 2, 
(10) 
x —y— z p = o, y-\-zq— o, 
résultats dont les premiers membres ne contiennent pas explicitement