HUITIÈME LEÇON.
O
APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL : ÉLIMINATION
DES CONSTANTES ET * DES FONCTIONS ARBITRAIRES PAR LA DIFFÉ
RENTIATION, D’OU SE DÉDUISENT CERTAINES PROPRIÉTÉS POUR LES
FAMILLES DE FONCTIONS; * ÉTUDE DES FONCTIONS HOMOGÈNES
THÉORÈME DE CAUCHY SUR LE RAPPORT DES ACCROISSEMENTS
SIMULTANÉS DE DEUX FONCTIONS, ET SON EMPLOI, PRINCIPALEMENT
DANS LE CALCUL DES EXPRESSIONS DE FORME INDÉTERMINÉE.
77. — Élimination des constantes arbitraires par la différentiation et
formation d’une équation différentielle convenant à toute une famille
de fonctions ou de courbes.
Les Leçons précédentes contiennent l’exposé de tous les principes
généraux du Calcul différentiel; le reste de ce calcul consiste en ap
plications de la méthode, qualifiées respectivement d’analytiques ou
de géométriques suivant qu’elles paraissent tenir davantage de l’Al
gèbre ou de la Géométrie, mais qui, toutes, comportent une interpré
tation géométrique nécessaire pour les bien saisir. Je commencerai
par les applications analytiques et, d’abord, par celle qui sert, en
quelque sorte, de transition entre les principes mêmes de l’Analyse
infinitésimale et ses applications : c’est l’élimination des constantes
par la différentiation et la formation d’équations, différentielles ou
aux dérivées partielles, communes à toute une famille de fonc
tions.
Concevons qu’une infinité de fonctions y de x soient définies par
une môme équation, de la forme y) = c, où c désigne un para
mètre variable avec continuité quand on passe d’une de ces fonctions
à ses voisines; par exemple, c = v{x, y) exprimera, dans le plan des
xy, une fonction de point, et les fonctions y de x considérées se
ront celles que définissent, par la relation existant entre leur ordonnée
et leur abscisse, les diverses courbes sur lesquelles <p(.r, y) reste in
variable. Alors toutes les fonctions y de x, ou les courbes les repré
sentant, sont dites appartenir à une même famille, qu’elles composent
par leur ensemble. L’équation ©(¿c, y) = c, différentiée le long de ces
