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ELIMINATION DES CONSTANTES. FAMILLES QUELCONQUES DE FONCTIONS 
courbes, donne évidemment^ + y' = o, relation d’où la con- 
dx dy J 
stante c a disparu, mais où figure, outre x et y, la dérivée y'. Cette 
relation s’appelle l’équation différentielle de la famille donnée de 
fonctions ou de courbes ; elle détermine, en fonction des coordonnées 
x, y de chaque point du plan, la pente y' qu’y présente celle des 
courbes de la famille qui y passe; et elle exprime ainsi une propriété 
commune à toutes les fonctions y données, car, en éliminant c, on a 
fait disparaître ce qui distinguait ces fonctions les unes des autres. 
Nous verrons dans le Calcul intégral que l’équation de la famille, 
prise soit sous la forme o(x, y) = c, soit sous toute autre et notam 
ment sous une forme explicite en y, comme y = f(x, c), s’appelle Vin 
tégrale générale de l’équation différentielle. 
Par exemple, l’équation différentielle y' = a.y caractérise la famille 
de fonctions dont la formule est y — ce** ; car, si l’on conçoit pour un 
instant que, dans celle-ci, c désigne non pas une constante, mais une 
fonction quelconque de x, en sorte que le produit ce rj - x puisse expri 
mer lui-même telle fonction de x que l’on voudra, la dérivée y' de ce 
produit sera évidemment c'e* x -h a ce* 00 , et il viendra bien, comme 
condition pour qu’elle se réduise à a y ou à occe* x , c' — o, c’est-à-dire 
cr=const. Effectivement, l’équation y — ce ax avec c constant, mise 
sous la forme ye~ ax = c, donne de suite, en supprimant, après diffé 
rentiation, le facteur commun e~ ax (différent de zéro), y'—ay=:o. 
Ainsi, la différentiation suffit pour éliminer une constante c, quand 
l’équation d’où l’on part est résolue par rapport à cette constante, ou, 
du moins, quand c s’y trouve séparé de x et de y, c’est-à-dire quand les 
termes où c figure ne contiennent ni x ni y. Il n’en est plus tout à fait 
de même dans le cas contraire où l’équation proposée a la forme 
F(x, y, c) = o et où c entre dans la relation 
c/F 
d F 
dx dy 
y 
Mais 
la différentiation, en fournissant cette dernière relation, donne encore 
la possibilité d’obtenir, entre x, y et y', l’équation différentielle delà 
famille; car il suffira, pour l’avoir, qu’on sache éliminer c, en tirant, 
par exemple, sa valeur de la proposée F(fc, y, c) = o pour la substi 
tuer dans 
dF 
dx 
d F . 
+ dy y 
o. 
Il est bon d’observer que l’équation différentielle existe, même quand 
la famille des fonctions y n’est pas exprimable algébriquement ou 
analytiquement et, par suite, ne comporte pas les sortes d’élimination 
qu’enseigne l’Algèbre. Cette famille pourrait n’être définie que d’une 
manière empirique, comme on se représente, par exemple, l’ensemble