DÉMONSTRATION DE LA RÈGLE DE L’iIOPITAL POUR LES EXPRESSIONS -• l3i 
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81. — Démonstration de la régie relative aux expressions de la forme - ; 
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cas d’exception ou comportant des difficultés spéciales. 
Cela posé, si, pour la valeur a de la variable, les deux fonctions 
f{x) et cp(#) s’annulent, que, de plus, l’accroissement A doive tendre 
vers zéro et puisse être supposé assez petit pour que la dérivée de 
l’une, au moins, des deux fonctions ait sans cesse le même signe entre 
x — a et x — a + A, la formule (i i) donnera 
(i3) 
/(a -i- h) _ f\a -+- 0h) 
cp ( a -4- A ) cp'( a -+- 6 h ) 
Admettons que le rapport ■ ■ tende, comme il arrive d’ordinaire, 
11 cp (a?) ’ 
vers une limite lorsque x tend vers a. Alors, quand A s’approchera 
graduellement de zéro, 6A, d’une valeur absolue moindre, tendra vers 
zéro soit graduellement, soit peut-être, dans certains cas, en sautant 
parfois brusquement d’une valeur absolue à une autre sensiblement 
plus petite. Quoi qu’il en soit, le second membre ne pourra éviter de 
converger vers lim |: ce qui démontre la règle. 
0 c f( a7 ) 1 & 
• • • f'(x') 
Mais il peut se faire que, x s’approchant graduellement de a, —,~■—- 
<p (a? ) 
oscille une infinité de fois entre des limites plus ou moins écartées, ou 
ne tende vers aucune limite, et que cependant le second membre de (i3) 
admette une limite déterminée; car rien n’empêche, quand h décroît 
vers zéro avec continuité, que 6 A varie brusquement de temps à autre, 
de manière à réduire toute la suite des valeurs prises par le second 
membre de ( 13) à une minime partie seulement de celles qu’on aurait 
en y faisant décroître OA d’une manière continue. II est clair que, dans 
que /' (a + 9 h ) et cp'(a + 6A) ne puissent pas être nuis à la fois. Donc, à cette 
réserve près, on peut diviser par 9'(a + 6 A), et il vient 
/(« +A)-/(a) = f{a H- 6 A) > 
»(a + Aj — '-?(«) 9' (a + 6 A)’ 
ce qui est bien la formule de Cauchy. Nous n’aurons à l’appliquer que dans des 
cas où la dérivée 9' (x) ne s’annulera pas entre les deux limites x = a, x = a -+- A; 
et voilà pourquoi il suffisait d’en indiquer ici, en note, l’extension à d’autres cas, 
pour lesquels la nécessité d’examiner la restriction encore subsistante (au moins 
d’après la démonstration) de la non-annulation simultanée de f{x) et de9'(ir) 
rendrait peut-être son emploi moins utile.