i3a express. - : cas ou les dériv. devienn. soit indét., soit infinies; 
ce cas, la règle usuelle tombera en défaut, car 
tendra vers une limite, et non 
/'O) 
t'O)' 
/(a -+- h) 
cf ( a —h h ) 
/(g) 
<f (a?) ’ 
On ne pourra donc pas ramener 
f(x) • • • 
le rapport des deux fonctions ^ à celui de leurs dérivées, qui, réel 
lement indéterminé pour x — a, sera seulement astreint par l’équation 
(13 ) à comprendre parmi ses valeurs possibles en nombre infini celle 
qui égalé —- • 
1 ?(«) 
Un exemple curieux de ce cas se présente quand on pose 
f{x) 
X % sin - J 
X 
<fO) 
et 
a — o; 
ce qui donne bien f{a)—: o, <p(«);=r o, et fait d’ailleurs varier f{x), 
®{x) avec continuité, même à la limite x — o où le facteur sin 
devenu sinoo, bien que toujours compris entre —i et -t-i, cesse de 
varier graduellement. Les deux dérivées f\x) et <p'{x) sont alors 
f(x) = 7.X sin h x- ( COS 
— 1=—cos h sin — i cpYa?) = i. 
:T?2 / .7? m V 7 
La seconde est constante, et la première f\x), réduite sensiblement à 
— cos — pour les valeurs s de x très voisines de zéi'o, est continue dès 
que x diffère de zéro, c’est-à-dire entre la limite x — o et une autre 
quelconque, bien qu’elle cesse de l’être pour x — o, où la rapidité de 
ses variations de ± i à qp x est infinie. D’après la démonstration don 
née tout à l’heure de la formule (n), cela suffira pour qu’on puisse 
appliquer cette formule (i i) ; car la continuité de f (x) et de y(x), 
encore subsistante même pour x — a, permet de négliger sans 
erreur relative sensible, dans les petits accroissements simultanés 
/(a -t- h) — /(a) et œ(a H- h) — cp(a), les éléments Af{x), Acp(x) les 
plus proches de cette limite a où les dérivées f\x), y'{x) ne sont 
plus toutes les deux graduellement variables et bien déterminées. 
Rien donc n’empêche de regarder la valeur limite de 
/O) 
f(v) 
ce (a?) 
comme 
égale à • ,.' r ,, ou à — cos - , pour une valeur e de x infiniment voi- 
° 'f( ;y ) x 
• f 1 i X ^ I 
sine de zéro. Mais on voit que J —r,—-, alors devenu — cos - ou — cosoo, 
1 0{X) £ 
est discontinu, et indéterminé entre—i et —(— i, tandis que le vrai