EXEMPLE POUR LE CAS ORDINAIRE. 
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f(x) , , .1 
quotient évidemment égal à x sin —, admet la valeur unique 
zéro à l'instant où x s’annule. 
Quand les dérivées f'{x), y'{x) deviennent infinies à la limite 
x — a, la règle subsiste; ce que montre encore la réflexion précédente 
sur la possibilité d’abstraire, des accroissements f{a~\-h)—f(a) 
et cp(a + A) — ?(a), les éléments A/(aQ, Ao>(a;) les plus proches 
de cette limite a. Seulement le rapport cherché des dérivées se pré 
sente sous la forme ^ , non moins indéterminée que - et à laquelle, 
comme on verra bientôt, la même règle est applicable. Mais on 
pourra utiliser directement ce résultat -, si la valeur infinie des 
1 GC 
deux termes de la fraction est due à la présence d’un facteur com 
mun indéfiniment grandissant, qu’il suffira de supprimer. Soit, par 
exemple, f{x) — \J x — i, <?{x) = — i et a—i, d’où résulte bien 
pour la forme - • Il viendra f\x) — —■ 1 
1 ?(«) o ' is/x — i 
valeurs que rend infinies, pour x — i, le facteur 
\Zx*—I 
• Mais leur 
x 
i 
• t ,, • I , /X* I I /- I 
quotient peut s ecnre — 1/ = — \jx + i, et vaut — pour 
2. OC y OC I 2 OC i/ 2 
x=i; résultat qu’on aurait eu de suite en observant que 
/O) 
o(x) = \Jx + i \jx — i 
expression 
\jx h- i/(a?) et que, par suite, ^ a pour 
?0) 
1 - - ou se réduit à quand x — i. 
\J X + 1 y/•}. 
83. — Application de la règle à un exemple. 
fi OC ) , , , 
Habituellement, le rapport ~—- dés dérivées tend vers une limite 
Cf'(37) 
/O) 
plus facile à calculer que la vraie valeur de cherchée directe 
ment, et la règle aboutit. 
Soit, comme exemple, à évaluer la fraction 
04) 
(e x — e~ x ) — x(e x -\- e~ x ) sinha? — x cosha? 
; OU ; 
à la limite x — o. C’est ce qu’on indique d’ordinaire en mettant l’ex 
pression considérée entre parenthèses et, à la suite, sous forme d’in 
dice, la valeur qu’on se propose de donner à x, de l’une des deux