SA DEMONSTRATION DANS LES DIFFÉRENTS CAS. i35 
fi° ~+~ h) ? ou —1, i e quotient équivalent de la fonction ~—, nulle 
cp(a -+- A) <p(a?) . cf(a?) 
pour x — a, par la fonction également nulle à la même limite. 
Ces deux fonctions continues s’approchent évidemment de zéro et va 
rient toujours dans un même sens, quand les valeurs absolues de f{x) 
et cp(¿r) grandissent ou que x — a-\-h tend vers a. Le rapport de 
leurs accroissements simultanés 
et 
< j • • • . fi a ■+• h ) 
réduit ainsi a ~ -f- 
cf ( a -+- h ) 
rapport de leurs dérivées 
d I 
<P (a-h h) cp(a) /(a + A) /(a)' 
> égalera, d’après le théorème de Cauchy, le 
cp'O) cl I _ f'i x ) 
clx Cf (a?) 
c’est-à-dire la fraction 
'f(^) 2 
?'0) 
cl I 
dx f{x) 
A x f 
f'(x) L<p(a?) 
/0)1 2 
pour une certaine valeur intermédiaire a 
donc 
f{ a -f- h ) _ cp'( a 
OA) 
cf (a -h A) /'(a 
ou, sous forme de proportion, 
f\a -i- 6 h) 
O 5 ) 
h de la variable. On aura 
/( a -t- 6 h ) 
6h) |_cf (a -+- 6 A)_ 
/0 + 6/0 
cf'O + 0A) _ cf (a 6 A) 
/( a -+- 6 A ) 
cf (a + 0h) 
f{a -+- h) 
cf (a -+- h) 
Or admettons que chacun des deux rapports ——, ~^ ! 1 tende vers 
1 1 A Cf(ip) Cf (a?) 
une limite quand ¿c approche de a, et que, pour c cette limite 
soit, ou finie et différente de zéro, ou nulle, ou infinie. 
Dans le premier cas, la relation (i5) devient évidemment, pour 
h = o, 
lim 
lim 
/O) 
lim /{ f 
cp'O) 
<pO) 
/O)' 
lim fiX) 
cf (a?) 
<fO) 
lim 
fi*) 
cf'O) 
lim 
f(x) _ 
<pO) ’ 
ce qu’il fallait démontrer. 
Dans le second cas, 0 h étant plus voisin de zéro que n’est A, le se-