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EXPRESSIONS — : CAS OU LA REGLE DE CAUCHY PEUT SERVIR. 
coud membre de (i5) a son numérateur '^ Æ + au moins aussi voi- 
v 1 cp(a-t-OA) 
sin, en général, de sa limite nulle, que n’est le dénominateur corres- 
/(. a ~+~ ^) ( p 0 q ¡1 suit que ce second membre (d’ailleurs po- 
cf{a-\-h) 1 K 1 
pondant 
sitif) atteint, à la limite, tout au plus l’unité. Donc la limite du nu 
mérateur du premier membre, lim , ne peut pas dépasser en 
valeur absolue celle du dénominateur lim 
a bien encore 
/(a?) 
<p(a?) 
? alors nulle : et l’on 
l im ZÏ£) = I 
?0) 
en ce sens du moins qu’elles sont milles toutes les deux. Mais leur rap 
port limite peut évidemment être très inférieur à l’unité ; car rien n’em 
pêche que le second membre de (i5) tende vers zéro avec h, la frac- 
tion 
f(a -+- Oh) 
cp(a. -f- 6 h) 
f(a-+- h) 
pouvant devenir indéfiniment plus proche de la limite 
zéro que - 
1 cp(a -t- h) 
Enfin, dans le troisième cas, où lim 
/(a?) 
?0) 
est infinie, le second 
membre de (i5) a, pour la même raison, son numérateur + ^ ^ 
v ’ 1 ’ cp(a -h Oh) 
moins éloigné de sa limite infinie, c’est-à-dire plus grand en valeur 
absolue que le dénominateur • Le rapport, évidemment po 
sitif, de ces deux très grandes valeurs de la fonction supposée conti- 
/O) 
nue 
cp(ar)' 
dépasse donc l’unité. Par suite, le premier membre égal 
fU gç \ * * i~ ( oc ) 
montre que lim —- a le signe de lim ~—- et n’a pas une valeur ab- 
1 cp (x) ° cp(a?) 
solue moindre ou est tout aussi infinie. On conçoit même que 
A*) 
cp'(a) 
puisse être un infini d’un ordre plus élevé; car rien ne dit que le 
second membre de (i5) ne grandisse pas sans limite à mesure que h 
tend vers zéro. 
, r f( oc^\ 
En résumé, le calcul de _ ? pour x — a, donnera la vraie valeur 
cp {œ ) 
de lim^ ^ quand celle-ci sera finie; et, quand elle sera infinie, il le 
fera connaître. 
Observons seulement que, lorsque les deux fonctions /(¿c)> <p(.r)