AUX FONCTIONS ALGÉBRIQUES QUI LE DEVIENNENT ÉGALEMENT. 
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Donc, quand une variable, y ou x, devient infinie, toute puissance, 
à exposant positif de cette variable le devient aussi, mais infini 
ment moins que Vexponentielle correspondante ey ou e x . 
C’est ce qu’aurait montré plus directement, s’il ne s’était agi d’ap 
pliquer la règle de Cauchy, le développement en série, (i3), de e x 
[p. 5o], visiblement composé, pour xy>o, de termes positifs de tous 
les ordres entiers de grandeur en x, jusqu’à l’infini. Et la relation (18), 
= o, se serait alors déduite de (19), qui n’en est, comme 
on a vu, qu’une autre forme. On n’a donc pas à craindre que les résul 
tats précédents soient subordonnés à l’hypothèse, faite en démontrant 
la règle de Cauchy, de l’existence d’une limite du rapport proposé 
A*0 / 
. 10 ^ oc 
qui est —— dans notre exemple ) à l’instant où x atteint la va- 
1 rplll i / 
cp(a?) V 
leur rendant infinis les deux termes de ce rapport. 
Il suit de là que si, pour les très grandes valeurs de x, on repré 
sente les fonctions positives \ogx et e x par une expression de la forme 
¿c a , en posant ainsi ¿r a = soit log.r, soit e x , c’est-à-dire, vu dès lors 
l’égalité du logarithme naturel de x a à celui de log# ou de e x , 
a log# = soit log loga?, soit x. 
XV^O VCUPLUO Ut 1 PA JUOCUll A. OU V UH 5 , V? U UUUûlO pi s 
1 log x y 1 
et y ou — dans le second, deviendront, l’une, nulle et, l’autre, in- 
U/l/ | ull UttUO X OUI, 11 U . uoyjiuiiuiuui. X UUU, ntUIO VLj X UUll 
logx y 
finie, quand x croîtra indéfiniment. Donc le logarithme d’une va 
riable infiniment grande peut être remplacé par une puissance de 
cette variable ayant son exposant positif infiniment petit, et l’ex 
ponentielle (à basee) de la même variable peut être remplacée par 
une puissance de cette variable dont Vexposant positif deviendrait 
infini. 
Cette remarque est précieuse dans l’étude des expressions de 
forme indéterminée où soit des exponentielles, soit des logarithmes, 
se trouvent combinés avec des facteurs algébriques; car elle sert à y 
lever l’indétermination, en montrant que les facteurs algébriques 
l’emportent infiniment sur les logarithmes, devenus des facteurs algé 
briques à exposants infiniment petits, et que, au contraire, les expo 
nentielles, assimilables à des facteurs algébriques à exposants infinis, 
l’emportent infiniment sur les facteurs algébriques donnés. On peut 
d’ailleurs, au signe près, ramener sous ce rapport le logarithme in 
fini négatif d’une variable qui s’annule à celui d’une variable qui