EXPRESSIONS DE l’üNE DES FORMES O X oc, ce 0 , 0°, ce :
devient infinie; car on a —log.3?=rlog - et, pour a?‘nul ou - infini,
— logx = x~ z , On voit de suite, par exemple, que, à la limite x — o,
le produit—x m logÆ’ devient x m ~ z et, par conséquent, s’annule si
l’exposant donné m surpasse zéro, quoique le second facteur logjr
devienne infini.
89. — Autres expressions de forme indéterminée.
On ramène à l’une des deux formes - , — une troisième catégorie
O 00 °
d’expressions d’apparence indéterminée que l’on exprime par o x oo,
et qui se présentent dans les produits f\x), ©(#) de deux fonctions
dont l’une, f{x), s’annule, à l’instant où l’autre, o{x), devient infi
nie. Il suffit, pour réduire cette catégorie aux précédentes, de rem
placer Tune des deux fonctions par son inverse, écrit en dénominateur
sous l’autre fonction.
C’est ainsi, par exemple, qu’on ramènerait le produit x\ogx, pour
x = o, au quotient , revenant, avec - —y, à la fraction — ]2%Z-
Y
x
prise pour j infini : résultat nul d’après la formule (18), comme on
vient d’ailleurs de le voir. On ramènerait de même l’expression
[x (Va — où A est censé désigner un nombre positif quel
conque, expression de la forme 00(1 —i) ou oo x o, à la fraction
de la forme -
o
ou et pour laquelle le rapport des
: logA. On aura donc
\ y h= o
dérivées donne
1 J y = o
[^(VA — 1)]*=, = log A
(20)
conformément à la formule de Briggs (portant le n° i4 à la page 5i),
qui est en quelque sorte la définition du logarithme naturel, consi
déré comme limite d’exjoressions algébriques.
Enfin, une dernière classe assez usuelle d’expressions d’apparence
indéterminée se présente dans des exponentielles à base variable, ou
de la forme < / , (a?) < P( a 9, quand l’exposant <f(.r) devient infini pour une
valeur de x rendant la base f{x) égale à l’unité, ou quand, au con
traire, l’exposant cp(#) s’annule à un instant où la base f{x) est
nulle ou infinie. Il s’agit donc des formes i°°, o°, oo°. Cette catégorie se