NEUVIÈME LEÇON.
SUITE DES APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL :
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ENTIÈRES; FORMULES
DE TAYLOR ET DE MAC LAURIN; DÉVELOPPEMENT DE {a-hb) m , ETC.
91. — Objet et importance de la formule de Taylor.
La propriété de graduelle variation dont jouissent, en général, les
fonctions même les plus compliquées se présentant dans l’étude des
phénomènes naturels, a pour effet d’assujettir leur marche à des lois
approchées uniformes, toutes les fois qu’on ne les considère qu’entre
des limites suffisamment resserrées. S’il est question, par exemple,
de ne donner à la variable d’une fonction f{x), à partir d’une cer
taine valeur fixe, d’ailleurs quelconque, x, que d’assez petits accrois
sements positifs ou négatifs /¿, les valeurs correspondantes f{x-\-h)
de la fonction vaudront, d’après la formule du haut de la page 36,
f{x) + f\x)h H- s/i, et comporteront ainsi l’expression approchée,
du premier degré en h,f{x) -\-/'{x)h, avec une erreur, s h, d’un
ordre de petitesse par rapport à h supérieur au premier. Or il est
naturel de chercher à généraliser ce résultat et de se demander si, en
prenant pour expression approchée de f(x H- h) un polynôme cp(A)
du n ième degré en h,
(i) <p(A) = A 0 -
Ai
Al
1.2 1.2.3
h 3
A „
I .2.3. . .Ai
h".
on ne pourrait pas de même, par un choix convenable de ses coeffi
cients A 0 ,
A 2
1.2
A«
, , , 0 ? réduire la différence entre f(x-\-h)
11.2 I .2.3. . .Al J V '
et ce polynôme ©(A) à une expression de la forme sA», où s tendrait
vers zéro en même temps que A; de sorte que l’erreur commise fût,
pour h assez voisin de zéro, incompamerablent plus petite que le der-
A«
nier terme -- ^ —— h n , toutes les fois que A„ différerait de zéro. Et
l’on conçoit d’ailleurs que, en donnant alors à n des valeurs de plus