1.2.3.. 
Ainsi, les premiers membres de ces inégalités, d’abord nuis, vont, 
l’un, en grandissant, l’autre, en diminuant, et, si l’on admet qu’ils 
soient continus ou que ^(A) le soit, leurs dérivées ne pourront man 
quer d’être, l’une, positive, l’autre, négative. On aura donc 
h n ~\ 
1.2.3. . .{n — i) 
inégalités semblables aux précédentes et montrant que la dérivée 
<j/(A) s’annule, comme tj>(A), à la limite h— o. On en déduira de 
même successivement, si les fonctions <]/(A), (J/(A), ..., Y n ~ l) U l ) 
sont continues, 
hn—2 
vw- 
h) >■ o, 
(/¿) ; 
Comme le nombre s doit tendre vers zéro en môme temps que la va 
leur la plus grande considérée de A, on voit que ces inégalités exigent 
bien, en somme, l’annulation de ^(o), t]/(o), 4' ,, (°)> • ■ •> ^'^(o), c’est- 
à-dire l’égalité, pour h — o, des deux fonctions proposées dont tj'(A) 
exprime la différence, et de leurs n premières dérivées, comparées 
chacune à chacune. 
On arriverait à la même conclusion en attribuant à A, toujours à 
partir de zéro, des valeurs négatives; ce qui ne changerait rien à la 
première inégalité (2) en choisissant encore convenablement celle des 
deux fonctions j\cc -(- A), :p ( A) dont exprimerait l’excédent sur 
l’autre, mais ce qui, dans le cas de n impair, conduirait, en posant la 
seconde inégalité (2), à prendre e négatif, pour que le produit zh n 
continuât à être positif. Seulement, h diminuant, les fonctions crois 
santes auraient alors des dérivées négatives, et les fonctions décrois 
santes, des dérivées positives; ce qui conduirait à changer, d’une 
ligne de formules à la ligne suivante, le sens des inégalités. Chacune 
des dérivées <|/(A), ..., n’en serait pas moins comprise 
entre zéro et une limite tendant vers zéro avec A.