roua qu’un tel contact soit d’un ORDRE DONNÉ 71. 
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Réciproquement, si les deux fonctions proposées et leurs n pre 
mières dérivées sont égales chacune à chacune, pour une valeur 
déterminée de leur variable, et que, par suite, en comptant les petits 
accroissements h à partir de cette valeur, la différence des deux fonc 
tions, que j’appellerai encore ^(A), mais prise avec son signe et non 
pas seulement eu valeur absolue, vérifie les n -+- 1 conditions (f(o) = o, 
4/(0) = o, 4' // ( o ) — °> • • • ? (o) = o, ces deux fonctions présente 
ront, pour la valeur considérée de leur variable, un contact d'un 
ordre au moins égal à n. 
En effet, concevant d’abord que h croisse depuis zéro jusqu’à une 
valeur positive non plus seulement très petite, mais quelconque [afin 
d’établir en même temps, entre des limites aussi écartées qu’on le 
voudra, une formule, nécessaire plus loin, de la différence 4*(h) des 
deux fonctions], appelons m la plus petite, et M la plus grande des 
valeurs que reçoit dans cet intervalle la dérivée f n) {h), m et M 
remplaçant ainsi les deux limites zéro et s de {h) considérées 
dans la démonstration précédente. On aura évidemment, au lieu de 
la dernière ligne des inégalités (4), 
(5) f n) {h) — m > 0, — M < 0. 
Or les premiers membres de celles-ci sont les dérivées des deux fonc 
tions 4r(«-i)(/¿) — ni y et 4 (,i-1) (h) — M y • De ces deux fonctions, 
nulles par hypothèse initialement ou pour h = o, la première grandit 
donc avec /¿, tandis que la seconde diminue, pourvu toutefois que 
l’une et l’autre soient continues; et il vient, à la place de l'avant-der 
nière ligne des inégalités (4), 
(6) f n -~ l) (h) — m y > o, f ,l - l fh) — M - < o. 
Ou observera de même que les premiers membres de celles-ci sont 
les dérivées de J/"- 2 ) {h) — m et de (/¿) — M ~, etc. ; et 
une série de raisonnements analogues donnera finalement 
(7) 
*(*)• 
h' 1 
1.2. a... n 
>°: 
Hh)- M 
h n 
1.2.3. 
< O, 
Donc le rapport de J;(A) à - — se trouve compris entre la plus 
petite, m, et la plus grande, M, des valeurs reçues par la dérivée 
zjième(/7) pendant que h, d’abord nul, a graduellement atteint son 
état actuel. Et le même raisonnement, sauf le changement de sens des 
B. — I. Partie élémentaire. 10