l46 DIFFÉRENCE DE DEUX FONCTIONS QUI ONT UN CONTACT D’ORDRE II ; 
inégalités dans le passage d’une ligne de formules à l’autre, s'appli 
quera évidemment au cas de valeurs négatives ou décroissantes 
de A. 
Or admettons la continuité non seulement de ]/(A) et de ses n—-1 
premières dérivées, ce que nous avons dû faire déjà, mais aussi de la 
dérivée n ième (A). Alors, pour A assez petit, les valeurs particulières 
m et M ne pourront manquer d’être aussi voisines que l’on voudra de 
o), qui égale zéro par hypothèse; et le rapport de >{h) à 
h n 
, compris entre m et M, tendra aussi vers zéro avec A. Cela 
1.2.3. . .71 1 
prouve bien que ([(A) sera d’un ordre de petitesse en A supérieur au 
/7 ième , ou que les deux fonctions proposées auront un contact d’un 
ordre au moins égal à n. 
Il n’est pas indifférent [pour arriver de suite à l’expression de 
([(A) annoncée tout à l’heure] de remarquer que la fonction continue 
*î* (rt, (A)? entre les deux instants où elle égale m et M, passe par toutes 
les valeurs intermédiaires, et que, en particulier, à un certain 
moment, où sa variable peut être représentée par OA si 0 est une 
fraction (inconnue) de l’unité ou 6A une fraction de A, elle égale le 
h' 1 
rapport, que l’on a en vue, de ]>( A) à ^ - —• Il vient donc 
(8) di( A) = v-— (6 A). 
Enfin, le contact des deux fonctions proposées atteindra justement 
l’ordre n, sans le dépasser, si leurs dérivées (n + iyèmes^ p 0ur /, ~o, 
sont différentes. Car alors la dérivée (/i + i) !ème , (A), de leur 
différence, ne s’annulera pas à la limite A = o et ne pourra manquer, 
entre cette limite et une autre assez voisine, de garder son signe, avec 
des valeurs notables. En appelant respectivement a, ¡3 la plus petite 
et la plus grande de ces valeurs, on aura donc les inégalités 
(]/«-+-!)( A) — a o, ^(»+i)(A) — p <; o. 
Or, grâce à la continuité supposée de <[(A) et de ses n premières 
dérivées, on remontera de ces deux inégalités, par le procédé suivi 
pour passer de (5) à (7), jusqu’à deux relations comme 
<KA) 
A "+ 1 
1.2.3.. .(n —i) 
t[(A) - ¡3 
h n +i 
I .2.3. . .(77-l-l) 
prouvant bien 
deux nombres, 
que le rapport de (A) à h n+x est compris entre 
a P 1 ' • j 
— r et — , de meme siirne et de 
i .2.3,. .(tm-i) 1.2.3. . .(n-f-i)