ORDRE PAIR OU IMPAIR D’UN CONTACT J CONTACT D’ORDRE INFINI. 1^7 
grandeur sensible, ou que n’est pas d’un ordre de petitesse, en h, 
supérieur au (n i) ième . 
On voit même que, si la dérivée (/¿) est continue ou prend 
seulement le même signe de part et d’autre de la valeur h — o, c’est- 
à-dire pour h négatif que pour h positif, le rapport de ¿(/¿) à h' l+l 
aura toujours ce signe, comme a et p, dans le voisinage de h — o; et 
que, par suite, ty{h) changera de signe en même temps que h, ou n’en 
changera pas, suivant que l’exposant n -+-1 sera impair ou pair. 
Quand donc le contact est d’un ordre n pair, celle des deux fonctions 
proposées qui se trouve plus grande que l’autre un peu avant le 
moment où elles atteignent leur valeur commune devient la plus 
petite aussitôt après ce moment : elle reste, au contraire, la plus 
grande au delà comme en deçà, quand l’ordre du contact est 
impair. 
Il peut arriver que deux fonctions, parfaitement distinctes d’ail 
leurs, aient un contact d’ordre infini pour certaines valeurs de la va 
riable et que, par conséquent, toutes leurs dérivées soient momenta 
nément égales chacune à chacune. Ce fait se produit à l’instant où 
#=--0, comme l’a reconnu Cauchy, dans la fonction y — o comparée 
y 
à l’exponentielle y = e a-ï , qui, nulle au moment considéré où x = o, 
grandit avec la valeur absolue de x en tendant pour x — ± œ vers la 
limite supérieure i. Les dérivées successives de cette exponentielle, 
se composent évidemment de termes qui, tous, la contiennent multi 
pliée par une puissance de ~ à exposant entier et positif. En faisant 
~~u, ces termes sont donc, au coefficient près, de la forme 
u m 
u m e~ u — —? où l'exposant m est un multiple positif de et l’on a 
vu (p. 189) qu’une telle expression tend vers zéro quand u grandit 
ou quand x s’approche de zéro. Ainsi, à la limite æ = o, toutes les 
dérivées successives de l’exponentielle proposée s’annulent comme l’ex 
ponentielle elle-même; et celle-ci a bien alors un contact d’ordre 
infini avec la fonction y = o. 
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Il en serait de môme de l’exponentielle y — e x , si l’on y considé 
rait seulement, dans le voisinage de x — o, les valeurs positives ou 
croissantes de x ; car, pour les valeurs négatives, l’exponentielle et