FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR : 
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toutes ses dérivées deviendraient non pas milles, mais infinies, à la 
limite x — o. 
La nature réalise parfois, autant que nous pouvons en juger, de 
tels contacts, d’ordre infini, entre les fonctions qui représentent deux 
phénomènes se succédant en un même endroit, ou deux phases con 
sécutives d’un même phénomène régies par deux lois différentes; car 
il est des cas où elle paraît employer, en quelque sorte, tout son art 
à ménager les transitions et les raccordements (par exemple, dans la 
mise en mouvement d'une masse fluide au moyen des frottements 
qu’y provoque le contact d’une paroi plane, animée à partir d’un cer 
tain moment de vitesses tangentes à son propre plan). 
93. — Formule et série de Taylor; cas généraux de convergence. 
Nous savons maintenant que, pour réduire à une expression de la 
forme zh n la différence entre une fonction proposée J\x-\-h) elle 
polynôme du /г*® ше degré <р(/г) défini par la formule (i) [p. 142], il 
suffit d’égaler, à la limite h~ o, ces deux fonctions et leurs n pre 
mières dérivées en h, chacune à chacune. Or les dérivées successives 
en h de /(¿c + /i) sont évidemment f'{x h), f"[x-\-h), ...; et 
celles de cp(/г) s’obtiennent par des différentiations immédiates. Pour 
h — o, la fonction proposée et ses n premières dérivées deviennent 
/(ж), f\x), f"{x), . ..,/(") (x), tandis que les valeurs analogues de 
®(/г)> • • • > f n fh) se réduisent respectivement à A 0 , A t , 
A 2 , .. ., A„. On prendra donc 
(9) A o=f( x ), Ai = f'(x), A,=/'(ar), ..., A n =fM(x). 
D’ailleurs, la différence ф(/г) =/{x h- h) — tp(A) aura pour dérivée 
п \Ыь f(n) (x + h) — A„, ou /<«) {x h) —/(") (x), car la dérivée 
n u-.mc c l u polynôme te (h) est constante; et la formule (8) donnera 
d/(/i) ou J(x -+- h) — o (A) = f U {a K^ + 6Л)— 
Désignons par R„ ce reste, ou terme complémentaire, qui doit 
être ajouté au développement obtenu ср(Л) du /г и - шс degré pour re 
composer la fonction /{x 4- /г), et il viendra les deux formules 
( 1 °) A x ' h ) = f( x ) — 7 f\ x ) ■+* ~ f'\ x ) + —- h * f (,l K x ) + R,i, 
(11) R« - 777-/3777^ if {n) ( x + 8A)]. 
La première est appelée formule de Taylor; son second membre