CAS OU LES ACCROISSEMENTS 11 SONT PETITS. 
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devient la série de Taylor quand on y fait grandir n indéfiniment 
et que R„ tend vers zéro. La deuxième fournit une expression très 
simple de l’erreur R re que l’on commet sur f{x 4- h) en arrêtant à un 
certain terme le développement de la série. Dans le cas /1 = 1, qui 
nous a servi de point de départ, cette expression se réduit bien à 
//[/'(j + 6/i)—/(æ)], comme l’indiquait la relation fondamentale 
de la page 35. 
Les seules conditions qu’il ait fallu admettre, relativement à la 
fonction /¿) —j\x + h) — cp(A), pour établir la formule (n) de R„, 
ont été la continuité de cette fonction et de ses n premières dérivées, 
dans tout l’intervalle compris entre la valeur zéro de h et sa valeur 
actuelle. Or ces conditions seront satisfaites si, d’une part, le poly 
nôme cp(/i) est continu, ce qui exige que A 0 , A 1; A 2 , . . ., A„, ou f{x), 
f'{x), f"{x), . .., fW (x), n’aient pas leurs valeurs infinies, et, d’autre 
part, si les fonctions f{x -+- h), f\x 4- h),f"(x-yh), . . ., /(x + h ) 
ne cessent pas elles-mêmes d’être continues entre les valeurs extrêmes 
x el x-h h de leur variable. 
Alors, en considérant spécialement les très petites valeurs absolues 
de h, le développement obtenu exprimera la décomposition de 
f{x-hh) en éléments, /(¿c), / î; ~~ h 2 , .. ., d’un ordre de pe 
titesse de plus en plus élevé. Par conséquent, la série convergera 
très vite : le rapport d'un terme au précédent (abstraction faite de ceux 
qui seraient identiquement nuis) y contiendra le facteur h et sera 
comme infiniment petit. Mais, de plus, elle convergera bien vers 
f{x-\-h)] car on voit, par le second membre de (11), que le rapport 
h 11 
du reste R„ au dernier terme employé —— x ) égalera le 
quotient, évanouissant avec //, 
4- 6h) — /'(«)(a;) 
f M {x) 
dont le divi- 
dende est l’accroissement de la fonction continue pour le très 
petit changement 0h de la variable, et dont le diviseur f( ,l ï{x), indé 
pendant de //, diffère de zéro si l’on admet que le dernier terme en 
question auquel on s’est arrêté en diffère lui-même. 
La continuité de la fonction f et de ses dérivées étant admise, il 
faudrait donc, pour que f{x 4- h), lors d’accroissements h très faibles, 
échappât au développement par la série de Taylor, que les dérivées 
successives /\x), f"{x), f"\x), ..., jusqu’à l’infini, fussent nulles 
pour la valeur particulière x choisie. Alors la formule (10) ne trou 
verait, pour ainsi dire, rien à extraire de la quantité f\x 4- h), ou, 
du moins, de sa partie variable /{x 4- h) — /(¿f); car celle-ci, réduc-