SÉRIE DE TAYLOR : FONCTIONS TOUJOURS DÉVELOPPABLES. 
lible à R„ = 1 —— f^(x -h 6Л), où {x +6h) tendrait vers 
zéro avec h quelque grand qu’on prît n, serait d’un ordre infini de 
petitesse en h. En d’autres termes, la quantité /{x H- h) varierait plus 
lentement en fonction de h, dans le voisinage de h = o, que toute 
puissance de h, et, par suite, sa marche à ce moment ne comporterait 
pas d’expression algébrique approchée. Cauchy a donné comme 
exemple d’une telle fonction l’exponentielle y ~ e x ', dont il a été parlé 
tout à l’heure et qui, pour х = о, présente un contact d’ordre infini 
avec la fonction constamment nulle yz=zo. Cette exponentielle, si l’on 
y compte les accroissements h à partir de la valeur zéro de x, échappe 
donc, grâce à son extrême petitesse dans le voisinage, au développe 
ment par la formule de Taylor, et même à tout développement suivant 
des puissances quelconques de h, eussent-elles leurs exposants frac 
tionnaires. 
A part une aussi rare exception, les formules (10) et (i i) rempliront 
ainsi parfaitement le but qu’on se proposait dans le cas de petits ac 
croissements h. Mais, en outre, leur démonstration n’ayant exigé au 
cune hypothèse restrictive touchant la grandeur de h, on s’en servira 
pour développer f[x -+- h) en série, toutes les fois qu’il sera possible 
de prouver l’évanouissement de R„ à la limite n — oo. 
C’est ce qui se fera notamment, par la formule (ri), quand les dé 
rivées, supposées d’ailleurs continues, de f{x-\-h), ne grandiront pas 
indéfiniment à mesure que leur ordre s’élèvera; et alors, quelque 
grand que soit /г, le développement en série sera légitime. En effet, 
le facteur f( n ){x -h Oh) — f( n '>{x), dans (n), ne dépassant pas une 
certaine grandeur, il suffira, pour que R,j tende vers zéro, que le pro- 
h n 
duit тг y tende lui-même. Or c’est bien ce qui a lieu; car, si 
p désigne un nombre entier supérieur à h, ce produit peut toujours, 
pour n assez grand, s’écrire 
part, le facteur fini n 
n’y varie pas avec /г, tandis que, d’autre 
h , . , .... . n ~P 
1.2.3...p 
part, le facteur— — ••• -- 
1 П —L_ T П _L_ O 11 
— г évidemment inférieur à 
n 
p -f- I p+2 
tend vers zéro comme les puissances successives de la fraction pro- 
.. h 
prement dite 
P + 1 
Parmi les fonctions comprises dans ce cas de convergence, ou dont 
les dérivées ne grandissent pas indéfiniment à mesure que leur ordre 
s’élève, il importe de remarquer les trois fonctions fondamentales e x ,