FORMULE DE LAGRANGE POUR LE RESTE DE LA SÉRIE DE TAYLOR. l5l 
cos#, sin^r, qui se reproduisent sans fin par une ou par plusieurs dif 
férentiations. Nous verrons bientôt (n° 95) quels développements elles 
donnent suivant les puissances, par exemple, dex-, et nous trouverons 
ainsi, notamment, les expressions en série de cosæ? et de sin# annon 
cées à la page 61, après le titre du n° 21*. 
94. — Formes du reste dues à Lagrange, à Cauchy et à M. Roche. 
D’autres cas de convergence de la série de Taylor, plus particuliers 
et plus délicats à reconnaître, exigent parfois l’emploi d’une forme du 
reste R„, due à Cauchy, un peu moins simple que (n), et, à ce pro 
pos, il y a lieu d’étudier un instant les expressions les moins com 
plexes que peut recevoir R, t . Nous admettrons, dans ce but, la con 
tinuité non seulement des fonctions , mais aussi de 
la dérivée suivante entre les deux valeurs x, x + A de la va 
riable. 
Et, d’abord, cette hypothèse permettra de pousser le développe- 
ment, dans (io), jusqu’au terme j— f ( -' l+l '>[x) ; ce qui in 
troduira un nouveau reste R„ +1 exprimé, d’après (ix), par 
■ 7 r/ (ra+I) 0 -4-OA) — 
avec une valeur de 0 différente, bien entendu, de celle que contient 
l’expression (n) de R„. 
Or le reste précédent R ra représente évidemment la somme du nou 
veau terme et de R„ +1 ; en sorte qu’on a 
(12) 
K« = 
]i n+1 
I .2.3. . .{n -t- I) 
f(n+i)( æ 
OA). 
Telle est la forme du reste, simple transformée ou application de 
(11), comme on voit, qui, trouvée par Lagrange, a été la première 
connue. 
Lorsque A est fort petit, on peut généralement y remplacer, sans er 
reur appréciable, f( n+1 '> (x H- 0A) par (x), tandis que, dans (11), 
la petite différence, f^ l) {x H- OA) •— yô») (x), dex), se trouve, en 
même temps, réductible au produit de la dérivée (x) par l’ac 
croissement 6 A de la variable. Alors la comparaison des deux valeurs 
(11) et (12) montre que l’on a, dans (11), 0 — — 1 -- • Ainsi, la fraction 
de l’unité appelée 0 dans (n) ne prend pas indifféremment, suivant la 
nature de la fonction, des valeurs quelconques entre zéro et 1, du moins