SERIE DE TAYLOR : FORMULES DU RESTE 
lorsque h esl fort petit; car elle tend, en général, vers quand h 
s’approche de zéro. Dans le cas le plus simple, qui est celui de n = i, 
où l’ensemble des deux formules (10) et (i i) équivaut à la relation fon- 
damentale f{x + h) — f{x) — hf {de -4- 6 A), il vient 0 = | ou, en di 
visant par A, 
f(cr -4- h) ~/{x) 
h 
(i3) (pour A très petit) 
M ais passons à la forme de R„ trouvée par Cauchy. Pour l’obtenir, 
observons que le second membre de (10), moins le dernier terme R„, 
exprimerait f{x -+- A) si la dérivée /^ +1 ) était identiquement nulle; 
ce qui réduirait à zéro le second membre de (u). Alors la somme 
égalant f{x-\-h), dépendrait uniquement de la valeur finale x -f- A, 
que je peux appeler X, de la variable, et non pas de sa valeur initiale 
x, au moyen de laquelle s’exprime d’ailleurs la différence h = X — x. 
Donc, en appelant F(æ-) cette somme (i4) où x sera considérée comme 
une variable, c’est-à-dire en posant 
| F (a?) =/(a?) -4- X t r f'{x) 
on peut être assuré que la dérivée F'(a?) s’annulera dès qu’on aura 
identiquement f( n+l \x) = o ; et, comme la forme même (i5) de F (¿r) 
montre que la dérivée F'(a?) ne contient f^ n+ ^{x) que dans un der 
nier terme, il est inévitable, pour que l’annulation de ce dernier terme 
entraîne celle de F'(a?), que tous les termes précédents s’entre- 
détruisent, quelle que soit la fonction f{x). Effectivement, si l’on 
différentie en x le second membre de (io), chaque terme de la forme 
(X x) m 
_____ __ fim){x) donne pour dérivée, en faisant varier d’abord le 
facteur (X — x) m , puis le facteur {x), 
expression dont la première partie détruit la deuxième provenant de 
la différentiation du terme précédent 
m(X — x) m ~ l 
f(' n -i){x). Gomme, 
1.2.3.. .m