DUES A CAUCHY ET A M. ROCHE. 
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d'ailleurs, pour le premier terme f{x), ou 
t(X - .r) 1 “ 1 
J\x), la déri- 
vée se réduit à la seconde partie, il ne reste que la deuxième de la 
dérivée du dernier terme, et l’on a bien en définitive, quelle que soit 
la fonction f{x), 
(16) 
Or, à l’instant où x — X, F[x) se réduit identiquement, d’après (i5), 
à/(X), c’est-à-dire à f[x-\~h). Par conséquent, le reste R,„ diffé 
rence entre /(¿p -4- h) et l’expression (14)> n’est pas autre chose que 
l'accroissement F(X) — F(.r) de la fonction F(æ;), corrélatif à l’ac 
croissement X — x de sa variable, et il vaut, d’après la formule fonda 
mentale du Calcul différentiel, le produit de ce dernier accroissement 
X — x ou h par la dérivée F', prise pour une certaine valeur de la va 
riable, intermédiaire entre x et X = j?h-h, qu’on peut appeler x-\- 0h. 
Gela suppose, bien entendu, la continuité de F(^p) et de F'(#), c’est- 
à-dire de la fonction f et de ses n -+- i premières dérivées, entre les 
limites x et x -h h. Il vient donc, dans ces conditions, 
R„ — h F'(ìt -h 0 h) 
c’est-à-dire, vu la relation (16) où il faudra remplacer X par x h et 
x par x -f- 0/q 
Telle est la forme du reste obtenue par Cauchy. Sa supériorité sur 
(ti), ou sur la précédente (12), pour prouver, dans les cas où c’est 
difficile à reconnaître, que R„ tend vers zéro quand n grandit indéfi 
niment, tient à ce qu’il y paraît en numérateur, au lieu des n facteurs 
h de la formule (11), ce même nombre indéfiniment croissant de fac 
teurs plus voisins de zéro h —ô/?. 
Enfin M. Roche, ancien professeur de la Faculté des Sciences de 
Montpellier, a montré en 1808 que les deux formes du reste trouvées 
par Lagrange et Cauchy étaient comprises dans une autre, beaucoup 
plus générale et presque aussi simple. On y arrive de suite, en conti 
nuant à regarder la valeur finale X ou æ + h comme fixe, et en met 
tant R„, pour la valeur considérée, également fixe, de ¿r, sous la 
forme Mh p , c’est-à-dire M(X — œ) p , p désignant un exposant constant 
supérieur à zéro, mais d’ailleurs quelconque. Par conséquent, l’ex 
pression (1/4) augmentée de Mh p ou, ce qui revient au même d’après 
(15), la somme F(;r) + M(X— oc)’\ est une fonction de ¿p qui, ré-