FORMULE ET SÉRIE DE MAC LAURIN.
rinite évidemment à F(x) —f{X) pour x — X, redevient égale à
/(X) quand x, s’éloignant de X, atteint la seconde limite fixe que l’on
considère : car M désigne justement la quantité qu’il faut pour que
cela soit. Donc, d’après un théorème de la deuxième Leçon (p. 35),
la dérivée, F'(#) — M/?(X — x)f’~ 1 , s’annule dans l’intervalle, pourvu,
du moins, qu’elle y soit continue comme la fonction; ce qui aura lieu
si fet ses n i premières dérivées le sont. En appelant encore æ + O/î
la valeur intermédiaire dont il s’agit, on aura
F'(ar-f-9A) — Mp(h — 0A)p-»= o;
, T F'(# -+- 0/г)
p(h — 0 h)P— 1
Substituons à F'(a;-t-6h) sa valeur, déduite comme précédemment
de (16), puis multiplions par hp pour obtenir MhP ou R„, et nous au
rons la formule de M. Roche :
(i8)
Celle de Cauchy, (17), s’en déduit en donnant à p la plus ¡Telile valeur
entière possible 1 et, celle de Lagrange, (1 2), en donnant à p la valeur,
a -h 1, qui fait disparaître les facteurs h — 0h.
93. — Formule et série de Mac Laurin : développements de e x ,
cosx et sin#.
La formule (10) de Taylor donne celle de Mac Laurin lorsqu’on y
compte les accroissements h à partir d’une valeur nulle de la variable,
en prenant ainsi x=zo. Si l’on remplace ensuite h par la lettre x de
venue disponible, on trouve
(19) /И=/(о)+*/(о)+^Ло)
Les expressions (11), (12), (17), (18) de R„ se transforment d’une
manière analogue. Par exemple, la première, (11), et celle de Cauchy,
(17), deviennent, l’une,
(2°)
l’autre,
( 2 1 )
[/t»)(0a?)_/ (e) (o)],
Enfin, le second membre de la formule (19) prend le nom de série