DÉVELOPPEMENTS DE 6 X , COS a? ET SIN#. 
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de Mac Laurin lorsque, en y faisant grandir n sans limite, le reste 
R, t tend vers zéro; ce qui arrive, naturellement, dans les mêmes cas 
généraux, examinés tout à l’heure (pp. 149 et i5o), que pour le second 
membre de (10). 
On pourra donc, en particulier, développer par la formule (19) les 
trois fonctions e x , cosx, sinic, dont les dérivées successives, savoir e x 
pour la première fonction, — sin,zq — cos^c, sin^c, cosa?, . . . pour la 
seconde et cos^c, —sin^r, —cos^r, sin.27, ... pour la troisième, ne 
croissent pas à mesure que leur ordre s’élève. Ces dérivées se rédui 
sant respectivement, pour x — o, à 1, à o, —1, o, 1, . . ., et à 1, o, 
— 1,0, . . ., il vient 
1 i. 2 1.2.3 ’ ’ 
x 2 x'* 
1.2 1.2.3.4 ’ 
x 3 x 5 
1.2.3 1.2.3.4,5 ’ ' ' ’ 
séries identiques à celles (i3) et (26) [pp. 5o et 28*] qu’on avait 
obtenues pour ces fonctions, par des procédés spéciaux, dès le com 
mencement du Cours. 
Nous avons déduit la formule de Mac Laurin de celle de Taylor; 
mais on pourrait, à l’inverse, déduire celle-ci de la formule de Mac 
Laurin. Développons, en effet, par cette dernière (19), suivant les 
puissances de x, une fonction de la forme ©(a-\- x), qui, dépendant 
bien de x, peut être appelée f{x). De J {x) — © (a + x) on tirera, par 
des différentiations successives, f\x) — y\a-\-x), f"{x) = v"{a- J rx),...; 
d’où 
/(o)=cpO), /(o) = cp'(a), /"(o) = fia), ..., 
/ (n) (0a?) = © (ra) (a 6îc). 
On aura donc, au lieu de (19) et (20), 
y» 7» 2 
•_ cç'(a) -+- — ©"(a) -4-... H ^ ©(«) (a) + R„, 
I 1 1.2* I ,2.3. . .71 1 v 
7>/l 
ce qui, sauf les changements de f en ©, de x en a et de h en x, re 
vient bien à (10) et (n). Ainsi, les deux formules de Taylor et de 
Mac Laurin ont, au fond, la même étendue l’une que l’autre; ce sont 
deux expressions différentes d’une seule et môme relation. 
o {a -f- x) = © (a) -+- 
FU = 
I e x — j -f- 
(22) < cos îc — 1 — 
I . . 
sin X — 
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