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DÉVELOPPEMENT DE (rt + ê) 
96*. — Application de la série de Taylor au calcul le plus approché 
possible des dérivées d’une fonction par le moyen de deux ou de 
plusieurs valeurs voisines de la fonction. 
(Compléments, p. i3a* ). 
97. — Application de la série de Mac Laurin au développement de 
(a-\-b) m , c’est-à-dire à la formule du binôme généralisée. 
Un des exemples les plus importants qu’on puisse donner de l’em 
ploi des séries de Taylor ou de Mac Laurin dans le cas d’accroisse 
ments h ou x de grandeur notable est le développement, par la for 
mule du binôme, de («H- b) m , quand l’exposant m cesse d’être entier 
et positif. En général, ce développement suivant les puissances ascen 
dantes de b ne reste alors possible, c’est-à-dire convergent, que lors 
qu’on a choisi pour b la plus petite (en valeur absolue) des deux 
parties de I expression a H- 6; et il est d'ailleurs, conformément à ce 
qu’on a démontré en Algèbre pour le cas de m entier, 
1 , , . m , 7 m m — i 
| ( a + b ) m = a' n H a m ~ x b n — a m ~ ï h 1 *- -+-... 
! I [ 2 
(25) 
I m m — t m — •>. m — n -+-1 
f h —-— • • • a m ~ n b ri -\- 
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Seulement m se trouvant soit négatif, soit fractionnaire, aucun des 
facteurs m, m — i, m — 2, m — 3. ... n’est nul et ne fait disparaître 
les termes où il figure, c’est-à-dire tous ceux qui viennent après un 
certain rang; d’où il suit que l’expression ne se termine plus et cesse 
d’être un simple polynôme pour devenir une série. C’est l’égalité de 
celte série à (a + b) m qu’il s’agit de démontrer. 
Dans ce but, appelant x le rapport - , compris, par hypothèse, 
entre — i et + i, mettons la formule (25), en divisant ses deux mem 
bres par a m , sous la forme 
m ni m — i 
i -1 x H x 1 H- . . . 
I I 2 
m m — t in — 2 m — n -+-1 n 
i 2 5 n 
et voyons si la série de Mac Laurin (19), dans laquelle on poserait 
J\x) — (1 h- x)" 1 , ne donnerait pas justement cette formule (26). De