MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS D’üNE SEULE VARIABLE ; 
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ment, vers le commencement du xvir siècle, pour mériter de lui don 
ner son nom. Ce principe n'énonce pas d’ailleurs, aussi bien que sous sa 
première forme A/(ar — z) — o ou f{x -h £ t ) —f{x — z), une condi 
tion suffisante de maximum ou de minimum, mais seulement une con 
dition nécessaire; car il peut arriver exceptionnellement, comme au 
point F de la figure ci-dessus, que la pente y' de la fonction s’annule 
sans changer de signe, ou que la fonction ne cesse pas soit de croître, 
soit de décroître, à l’instant où ses variations deviennent incompara 
blement plus faibles qu’ailleurs ; et alors cette fonction, ne passant pas 
deux fois par la môme valeur, n’est ni maximum, ni minimum. 
Il faut donc, à la condition f\x) — o, en joindre d’autres pour ex 
primer complètement un maximum ou un minimum. A cet effet, con 
sidérons la dérivée seconde f"{x). Elle est, en général, différente de 
zéro au moment où la dérivée première f'{x) s’annule; et celle-ci, en 
train de décroître quand f"{x) se trouve négative, en train de 
croître quand f'\x) se trouve positive, passe, dans le premier 
cas, du positif au négatif et, dans le second, du négatif au positif, à 
l’instant où elle est nulle. Donc la fonction proposée f{x) cesse alors 
ou de croître ou de décroître, et l’on a f{x — z) <gf{x) > J\x 4- sj) 
dans le premier cas, f{x — z) y>f{x) <if{x H- £j) dans le second. 
Ainsi, la fonction proposée f{x), au moment où sa dérivée première 
s'annule, est maximum ou minimum suivant qu’elle a sa dérivée 
seconde f" (x) négative ou positive. 
Mais qu’arrive-t-il quand cette dérivée seconde f'\x) est actuelle 
ment nulle, comme la première/'^)? Le maximum ou le minimum 
existant à la condition nécessaire et suffisante que la dérivée première 
f\x) passe du positif au négatif ou du négatif au positif et, par con 
séquent, soit dans une période ou de décroissance, ou de croissance, 
cela revient évidemment à dire que la dérivée secondef"(x), actuelle 
ment nulle par hypothèse, doit, pour cela, rester ou négative, ou po 
sitive, dans tout le voisinage, c’est-à-dire être elle-même actuellement 
maxima ou minima comme f{x). Donc sa propre dérivée première, 
f"\x), doit s’annuler, et sa dérivée seconde, f iy {x), être soit négative 
dans le cas du maximum ou positive dans le cas du minimum, soit 
maxima ou minima elle-même si elle est actuellement nulle. En pas 
sant, dans ce dernier cas, aux dérivées suivantes f y {x), f"(x) et 
continuant de même, on voit que la question de savoir si la valeur 
considérée de x, racine de l’équation f{x) = o, donne un maximum 
ou un minimum def(x), sera tranchée pourvu que cette valeur, por 
tée dans les dérivées successives f\x), f"'{x), .. ., ne les annule pas 
toutes. Alors, en effet, si la première de ces dérivées qui différera de